Восстановление уравнения касательной при известной точке касания — проверочная работа по математике, 11 класс

Математика · 11 класс. Проверочная работа по восстановлению касательной при известной точке: сначала реальные ошибки, затем самостоятельное решение.

Диагностика: ошибка в двух строках

На доске: f(x) = x² + 1, t = 2. Ученик написал «f′(2) = 4, значит y = 4x + 1». Проверьте: в точке x = 2 парабола имеет y = 5, а найденная прямая — y = 9. Уравнение неверно, хотя наклон вычислен правильно. Касательная должна иметь вид y − 5 = 4(x − 2), то есть y = 4x − 3.

Найдите и исправьте пять разных видов ошибок

1. Ученик утверждает: f′(1) = 2, поэтому y = 2x + 1. Для f(x) = x² − 2x и t = 1 найдите, какой шаг ошибочен, и дайте правильный ответ.
2. Ученик использовал y = f′(0) и получил горизонтальную касательную. Для f(x) = 2x² + x − 1 и t = 0 найдите, какой шаг ошибочен, и дайте правильный ответ.
3. Ученик написал y − 2 = f′(2)(x − 2). Для f(x) = x² + 1 и t = 2 найдите, какой шаг ошибочен, и дайте правильный ответ.
4. Ученик заменил f′(2) на f(2) при записи углового коэффициента. Для f(x) = −x² + 4x и t = 2 найдите, какой шаг ошибочен, и дайте правильный ответ.
5. Ученик записал нормаль вместо касательной и разделил на f′(1). Для f(x) = 2x² − 4x + 3 и t = 1 найдите, какой шаг ошибочен, и дайте правильный ответ.

Самостоятельная проверочная работа: 10 задач

Для каждого задания найдите производную, значение функции в точке и окончательное уравнение. Не пропускайте проверку подстановкой.

1. Известна точка касания с абсциссой t = −2 на параболе y = x² + 2x − 1. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
2. Известна точка касания с абсциссой t = 3 на параболе y = −x² + 3. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
3. Известна точка касания с абсциссой t = 1 на параболе y = 2x² − 3x + 1. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
4. Известна точка касания с абсциссой t = 4 на параболе y = x² − 4x + 5. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
5. Известна точка касания с абсциссой t = −1 на параболе y = 3x² + 2x. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
6. Известна точка касания с абсциссой t = 0 на параболе y = −2x² + x + 3. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
7. Известна точка касания с абсциссой t = 2 на параболе y = x² + x + 1. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
8. Известна точка касания с абсциссой t = 2 на параболе y = 1/2x² + x − 3. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
9. Известна точка касания с абсциссой t = −2 на параболе y = 2x² − 5. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.
10. Известна точка касания с абсциссой t = 0 на параболе y = x² + 4. Запишите уравнение касательной и докажите, что она проходит через точку графика.

Ключ: в чём ошиблись ученики

1. Решение. Точка на графике (1; −1), производная f′(t) = 0. Подставлять надо f(t), а не t вместо ординаты; итог: y = −1. Проверка: при x = 1 обе стороны равны −1.
2. Решение. Точка на графике (0; −1), производная f′(t) = 1. Подставлять надо f(t), а не t вместо ординаты; итог: y = x − 1. Проверка: при x = 0 обе стороны равны −1.
3. Решение. Точка на графике (2; 5), производная f′(t) = 4. Подставлять надо f(t), а не t вместо ординаты; итог: y = 4x − 3. Проверка: при x = 2 обе стороны равны 5.
4. Решение. Точка на графике (2; 4), производная f′(t) = 0. Подставлять надо f(t), а не t вместо ординаты; итог: y = 4. Проверка: при x = 2 обе стороны равны 4.
5. Решение. Точка на графике (1; 1), производная f′(t) = 0. Подставлять надо f(t), а не t вместо ординаты; итог: y = 1. Проверка: при x = 1 обе стороны равны 1.

Ключ: решения самостоятельной части

1. Решение. f(t) = −1, f′(t) = −2. Касательная y = −2x − 5. При x = −2 она даёт y = −1, как и исходная функция.
2. Решение. f(t) = −6, f′(t) = −6. Касательная y = −6x + 12. При x = 3 она даёт y = −6, как и исходная функция.
3. Решение. f(t) = 0, f′(t) = 1. Касательная y = x − 1. При x = 1 она даёт y = 0, как и исходная функция.
4. Решение. f(t) = 5, f′(t) = 4. Касательная y = 4x − 11. При x = 4 она даёт y = 5, как и исходная функция.
5. Решение. f(t) = 1, f′(t) = −4. Касательная y = −4x − 3. При x = −1 она даёт y = 1, как и исходная функция.
6. Решение. f(t) = 3, f′(t) = 1. Касательная y = x + 3. При x = 0 она даёт y = 3, как и исходная функция.
7. Решение. f(t) = 7, f′(t) = 5. Касательная y = 5x − 3. При x = 2 она даёт y = 7, как и исходная функция.
8. Решение. f(t) = 1, f′(t) = 3. Касательная y = 3x − 5. При x = 2 она даёт y = 1, как и исходная функция.
9. Решение. f(t) = 3, f′(t) = −8. Касательная y = −8x − 13. При x = −2 она даёт y = 3, как и исходная функция.
10. Решение. f(t) = 4, f′(t) = 0. Касательная y = 4. При x = 0 она даёт y = 4, как и исходная функция.

Критерий оценки

За каждое задание самостоятельной части можно поставить два балла: один — за верный наклон f′(t), один — за верную прямую, проходящую через точку (t; f(t)). При ошибке только в свободном члене сохраняйте балл за производную. Максимум — 20 баллов. Задания с поиском ошибки оцениваются отдельно как диагностическая подготовка.

Особый случай: если f′(t) = 0, касательная горизонтальна, y = f(t). Это не значит, что касательная совпадает с осью Ox: свободный член может быть отличен от нуля.

Самопроверка: Сверьте наклон, прохождение через известную точку и отсутствие деления на ноль.