Восстановление уравнения касательной при касательной с нулевым наклоном: карточки с ответами, 11 класс

Математика · 11 класс. Углублённый практикум в трёх уровнях: найти точки с f′(t)=0, отличить точки касания от различных горизонтальных прямых и разобрать особые случаи.

Метод без лишних вычислений: горизонтальный наклон

Если график функции в точке t имеет производную, коэффициент углового наклона касательной равен f′(t). Горизонтальная касательная тогда и только тогда, когда f′(t) = 0. Важный второй шаг: её уравнение не y = 0 «по умолчанию», а y = f(t).

Нельзя считать корни f(x) нулями производной: это две разные задачи. Нельзя также делать вывод «экстремума нет, значит нет горизонтальной касательной» без проверки; например, у x³ в нуле касательная горизонтальна, но экстремума нет.

Уровень 1 — парабола: 8 задач на один параметр

1. Парабола f(x) = x² + 3. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
2. Парабола f(x) = 2x² − 4x + 5. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
3. Парабола f(x) = −x² + 6x. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
4. Парабола f(x) = 3x² + 12x − 2. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
5. Парабола f(x) = −2x² + 8x + 7. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
6. Парабола f(x) = 1/2x² − 3x + 1. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
7. Парабола f(x) = x² + 5x − 3. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.
8. Парабола f(x) = −3x² − 6x + 4. Найдите абсциссу и ординату точки, где касательная горизонтальна; запишите её уравнение.

Уровень 2 — кубические функции: 8 задач на выбор числа касательных

1. Для f(x) = x³ − 3x + 1 определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
2. Для f(x) = x³ + 2 определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
3. Для f(x) = 2x³ − 6x определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
4. Для f(x) = −x³ + 3x + 2 определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
5. Для f(x) = −2x³ + 1 определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
6. Для f(x) = x³ − 12x − 2 определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
7. Для f(x) = x³ + 3x определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.
8. Для f(x) = −x³ − 3x + 1 определите все горизонтальные касательные или докажите их отсутствие.

Уровень 3 — составные ситуации: 8 задач, возможны повторные ординаты

1. Функция f(x) = x⁴ − 8x² + 2. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
2. Функция f(x) = x⁴ − 2x² + 5. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
3. Функция f(x) = −x⁴ + 8x² + 1. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
4. Функция f(x) = x⁴ − 4x³ − 2x² + 12x − 4. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
5. Функция f(x) = x⁴ + 4x³ + 4x² + 3. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
6. Функция f(x) = x³ − 3x + 5. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
7. Функция f(x) = x³ + x + 2. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?
8. Функция f(x) = x³ − 6x² + 9x − 1. Определите все точки, где наклон касательной равен нулю. Сколько разных горизонтальных прямых получается?

Подробный ключ первого уровня

1. Решение. f′(x) = 2x, поэтому t = 0. Значение f(t) = 3. y = 3; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
2. Решение. f′(x) = 4x − 4, поэтому t = 1. Значение f(t) = 3. y = 3; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
3. Решение. f′(x) = −2x + 6, поэтому t = 3. Значение f(t) = 9. y = 9; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
4. Решение. f′(x) = 6x + 12, поэтому t = −2. Значение f(t) = −14. y = −14; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
5. Решение. f′(x) = −4x + 8, поэтому t = 2. Значение f(t) = 15. y = 15; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
6. Решение. f′(x) = x − 3, поэтому t = 3. Значение f(t) = −7/2. y = −7/2; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
7. Решение. f′(x) = 2x + 5, поэтому t = −5/2. Значение f(t) = −37/4. y = −37/4; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.
8. Решение. f′(x) = −6x − 6, поэтому t = −1. Значение f(t) = 7. y = 7; касательная горизонтальна, так как её угловой коэффициент равен нулю.

Решения второго уровня

1. Решение. f′(x) = 3x² − 3. Решение f′(x) = 0 даёт: t = −1, y = 3; t = 1, y = −1. Число действительных точек касания: 2.
2. Решение. f′(x) = 3x². Решение f′(x) = 0 даёт: t = 0, y = 2. Число действительных точек касания: 1.
3. Решение. f′(x) = 6x² − 6. Решение f′(x) = 0 даёт: t = −1, y = 4; t = 1, y = −4. Число действительных точек касания: 2.
4. Решение. f′(x) = −3x² + 3. Решение f′(x) = 0 даёт: t = −1, y = 0; t = 1, y = 4. Число действительных точек касания: 2.
5. Решение. f′(x) = −6x². Решение f′(x) = 0 даёт: t = 0, y = 1. Число действительных точек касания: 1.
6. Решение. f′(x) = 3x² − 12. Решение f′(x) = 0 даёт: t = −2, y = 14; t = 2, y = −18. Число действительных точек касания: 2.
7. Решение. f′(x) = 3x² + 3. Решение f′(x) = 0 даёт: отсутствуют: производная не обращается в ноль на ℝ. Число действительных точек касания: 0.
8. Решение. f′(x) = −3x² − 3. Решение f′(x) = 0 даёт: отсутствуют: производная не обращается в ноль на ℝ. Число действительных точек касания: 0.

Решения третьего уровня

1. Решение. f′(x) = 4x³ − 16x; нули производной: (t = −2; y = −14); (t = 0; y = 2); (t = 2; y = −14). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = −14; y = 2). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
2. Решение. f′(x) = 4x³ − 4x; нули производной: (t = −1; y = 4); (t = 0; y = 5); (t = 1; y = 4). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = 4; y = 5). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
3. Решение. f′(x) = −4x³ + 16x; нули производной: (t = −2; y = 17); (t = 0; y = 1); (t = 2; y = 17). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = 1; y = 17). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
4. Решение. f′(x) = 4x³ − 12x² − 4x + 12; нули производной: (t = −1; y = −13); (t = 1; y = 3); (t = 3; y = −13). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = −13; y = 3). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
5. Решение. f′(x) = 4x³ + 12x² + 8x; нули производной: (t = −2; y = 3); (t = −1; y = 4); (t = 0; y = 3). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = 3; y = 4). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
6. Решение. f′(x) = 3x² − 3; нули производной: (t = −1; y = 7); (t = 1; y = 3). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = 3; y = 7). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
7. Решение. f′(x) = 3x² + 1; нули производной: таких точек нет. Различных горизонтальных прямых: 0 (нет). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.
8. Решение. f′(x) = 3x² − 12x + 9; нули производной: (t = 1; y = 3); (t = 3; y = −1). Различных горизонтальных прямых: 2 (y = −1; y = 3). Совпадающие ординаты дают одну прямую в разных точках.

Важная тонкость: точки и прямые — разные объекты

Функция f(x) = x⁴ − 8x² + 2 имеет горизонтальные касательные в трёх точках (x = −2, 0, 2). Но f(−2) = f(2) = −14, а f(0) = 2; значит различных горизонтальных прямых только две: y = −14 и y = 2. Различайте «число точек касания» и «число уравнений различных прямых».

Проверка без рисунка: найденная прямая y = c действительно проходит через (t; f(t)), если c = f(t); она горизонтальна, если коэффициент при x отсутствует. Производная в выбранном t должна быть нулём. Некоторые функции имеют горизонтальную касательную в точке перегиба — это не ошибка.

Самопроверка: При нескольких точках касания с одной ординатой не считайте одну горизонтальную прямую несколько раз.