Восстановление точки пересечения при вертикальных ограничениях — тренажёр для 11 класса
Класс: 11. Точки пересечения кривых внутри вертикальной полосы.
Цель: не путать линии x = a, x = b с точками, где графики функций действительно встречаются. В задачах область ограничена двумя вертикальными прямыми. Сначала решают равенство функций; затем проверяют, какие абсциссы лежат внутри полосы и где меняется верхняя граница. Только после этого составляют сумму интегралов.
Содержание статьи4 раздела
Памятка перед печатью
Для графиков y = f(x) и y = g(x) возможные пересечения находятся из f(x) = g(x). Если на [a; b] знак f − g постоянен, площадь равна интегралу от верхней функции минус нижнюю. Если знак меняется, границу нужно разбить в точках пересечения; площадь отдельных частей складывается. Вертикальные прямые x = a и x = b задают пределы, но сами не являются уравнением пересечения кривых.
Образец. Для y = x² и y = 2x, x ∈ [0; 3], разность x² − 2x = x(x − 2). Точки пересечения по абсциссам 0 и 2. На [0;2] выше 2x, на [2;3] выше x². Поэтому S = ∫₀²(2x−x²)dx + ∫₂³(x²−2x)dx = 4/3 + 4/3 = 8/3 кв. ед.
Вариант А — восстановите точки внутри полосы
Задание 1. Графики x^2 + 2·x − 2 и x рассматривают при -3 ≤ x ≤ 2. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 2. Графики x^2 − x − 1 и 1 рассматривают при -2 ≤ x ≤ 3. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 3. Графики x^2 − 2·x − 1 и x − 1 рассматривают при -1 ≤ x ≤ 4. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 4. Графики 2·x^2 + 6·x и 0 рассматривают при -4 ≤ x ≤ 1. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 5. Графики x^2 − 4·x + 5 и x + 1 рассматривают при 0 ≤ x ≤ 5. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 6. Графики 2·x^2 − 14·x + 19 и -1 рассматривают при 1 ≤ x ≤ 6. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 7. Графики x^2 − x и x рассматривают при 0 ≤ x ≤ 4. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 8. Графики x^2 − x − 5 и 1 рассматривают при -1 ≤ x ≤ 4. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Задание 9. Графики x^2 − 3·x + 2 и x − 1 рассматривают при -1 ≤ x ≤ 2. Найдите точки пересечения внутри полосы; укажите, на какие промежутки нужно разбить её для площади, и вычислите общую площадь.
Вариант Б — граничная точка или внутреннее пересечение?
Задание 10. Полоса [-1; 3] для кривых x^2 − 4 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 11. Полоса [-2; 2] для кривых 2·x^2 − 2 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 12. Полоса [2; 6] для кривых x^2 − 6·x + 5 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 13. Полоса [0; 3] для кривых 2·x^2 − 12·x + 16 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 14. Полоса [-4; 0] для кривых x^2 − 9 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 15. Полоса [1; 5] для кривых x^2 − 4·x и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 16. Полоса [1; 4] для кривых x^2 − 8·x + 12 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 17. Полоса [-4; -1] для кривых 2·x^2 + 2·x − 4 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Задание 18. Полоса [0; 4] для кривых x^2 − 2·x − 3 и y = 0. Какие корни действительно разбивают интервал изнутри? Вычислите площадь между графиками в полосе.
Ответы и проверенные решения
1. Ответ: (-2; -2); (1; 1); S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 + x − 2 = 1(x−(-2))(x−(1)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (-2; -2); (1; 1). Границы интегрирования: -3, -2, 1, 2. Площадь = 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
2. Ответ: (-1; 1); (2; 1); S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 − x − 2 = 1(x−(-1))(x−(2)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (-1; 1); (2; 1). Границы интегрирования: -2, -1, 2, 3. Площадь = 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
3. Ответ: (0; -1); (3; 2); S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 − 3·x = 1(x−(0))(x−(3)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (0; -1); (3; 2). Границы интегрирования: -1, 0, 3, 4. Площадь = 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
4. Ответ: (-3; 0); (0; 0); S = 49/3 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = 2·x^2 + 6·x = 2(x−(-3))(x−(0)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (-3; 0); (0; 0). Границы интегрирования: -4, -3, 0, 1. Площадь = 11/3 + 9 + 11/3 = 49/3.
5. Ответ: (1; 2); (4; 5); S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 − 5·x + 4 = 1(x−(1))(x−(4)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (1; 2); (4; 5). Границы интегрирования: 0, 1, 4, 5. Площадь = 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
6. Ответ: (2; -1); (5; -1); S = 49/3 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = 2·x^2 − 14·x + 20 = 2(x−(2))(x−(5)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (2; -1); (5; -1). Границы интегрирования: 1, 2, 5, 6. Площадь = 11/3 + 9 + 11/3 = 49/3.
7. Ответ: (0; 0); (2; 2); S = 8 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 − 2·x = 1(x−(0))(x−(2)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (0; 0); (2; 2). Границы интегрирования: 0, 2, 4. Площадь = 4/3 + 20/3 = 8.
8. Ответ: (3; 1); S = 43/2 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 − x − 6 = 1(x−(-2))(x−(3)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (3; 1). Границы интегрирования: -1, 3, 4. Площадь = 56/3 + 17/6 = 43/2.
Важно: Пересечение за пределами отрезка не даёт дополнительного разбиения.
9. Ответ: (1; 0); S = 22/3 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем функции: f − g = x^2 − 4·x + 3 = 1(x−(1))(x−(3)). Проверяем обе найденные абсциссы на включение в заданную полосу: (1; 0). Границы интегрирования: -1, 1, 2. Площадь = 20/3 + 2/3 = 22/3.
Важно: Пересечение за пределами отрезка не даёт дополнительного разбиения.
10. Ответ: внутри: 2; S = 34/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 1(x−(-2))(x−(2)) = 0. Внутренние пересечения: 2. Пределы частей: -1, 2, 3. Берём модуль каждой площади: 9 + 7/3 = 34/3.
11. Ответ: внутри: -1, 1; S = 8 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 2(x−(-1))(x−(1)) = 0. Внутренние пересечения: -1, 1. Пределы частей: -2, -1, 1, 2. Берём модуль каждой площади: 8/3 + 8/3 + 8/3 = 8.
12. Ответ: внутри: 5; S = 34/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 1(x−(1))(x−(5)) = 0. Внутренние пересечения: 5. Пределы частей: 2, 5, 6. Берём модуль каждой площади: 9 + 7/3 = 34/3.
13. Ответ: внутри: 2; S = 44/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 2(x−(2))(x−(4)) = 0. Внутренние пересечения: 2. Пределы частей: 0, 2, 3. Берём модуль каждой площади: 40/3 + 4/3 = 44/3.
14. Ответ: внутри: -3; S = 64/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 1(x−(-3))(x−(3)) = 0. Внутренние пересечения: -3. Пределы частей: -4, -3, 0. Берём модуль каждой площади: 10/3 + 18 = 64/3.
15. Ответ: внутри: 4; S = 34/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 1(x−(0))(x−(4)) = 0. Внутренние пересечения: 4. Пределы частей: 1, 4, 5. Берём модуль каждой площади: 9 + 7/3 = 34/3.
16. Ответ: внутри: 2; S = 23/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 1(x−(2))(x−(6)) = 0. Внутренние пересечения: 2. Пределы частей: 1, 2, 4. Берём модуль каждой площади: 7/3 + 16/3 = 23/3.
17. Ответ: внутри: -2; S = 59/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 2(x−(-2))(x−(1)) = 0. Внутренние пересечения: -2. Пределы частей: -4, -2, -1. Берём модуль каждой площади: 52/3 + 7/3 = 59/3.
18. Ответ: внутри: 3; S = 34/3 кв. ед..
Обоснование: Равенство графиков означает 1(x−(-1))(x−(3)) = 0. Внутренние пересечения: 3. Пределы частей: 0, 3, 4. Берём модуль каждой площади: 9 + 7/3 = 34/3.
Самопроверка: после решения каждого равенства отметьте на оси только те корни, которые лежат между вертикальными границами. Замена модуля разности одним интегралом допустима лишь тогда, когда знак не меняется.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.