Восстановление точки пересечения для симметричной криволинейной фигуры — упражнения разной сложности, 11 класс
Класс: 11. Симметричная фигура и парные точки пересечения.
Цель — восстанавливать обе точки пересечения у осесимметричной области, а не ограничиваться положительным корнем. Используйте чётность функций и различайте геометрическое удвоение половины площади от неверного удвоения одного произвольного интеграла.
Содержание статьи6 разделов
Наблюдение: откуда берутся две точки
Пусть верхняя граница y = c, а нижняя y = x², где c > 0. Уравнение x² = c даёт x = −√c и x = √c: обе точки лежат на одной горизонтали. График симметричен относительно оси Oy. Полная площадь = 2∫₀^√c (c−x²) dx. Обе симметричные половины равны, потому что разность границ — чётная функция.
| x | −r | 0 | r |
|---|---|---|---|
| Значение r²−x² | 0 | r² | 0 |
| График | пересечение | максимальный вертикальный отрезок | пересечение |
Выведите правило
Проверьте на двух разных значениях r: при r=2 площадь между y=4 и y=x² равна 32/3; при r=3 — 36. Как меняется результат при растяжении фигуры по обеим осям? Запишите обобщённое выражение через r и обоснуйте переход от левой половины к правой.
Контрпример к неверному приёму: Если разность границ — не чётная, симметричные по x пределы ещё не позволяют удвоить правый интеграл. Например, ∫₋₁¹(x+2)dx = 4, а 2∫₀¹(x+2)dx = 5. Симметрия пределов не заменяет проверку функции.
Задание 1. Фигура ограничена 2 и x^2 + 1. Найдите обе точки их пересечения, ширину области и площадь без отдельного вычисления левой половины.
Задание 2. Фигура ограничена 4 и x^2. Найдите обе точки их пересечения, ширину области и площадь без отдельного вычисления левой половины.
Задание 3. Фигура ограничена 10 и x^2 + 1. Найдите обе точки их пересечения, ширину области и площадь без отдельного вычисления левой половины.
Задание 4. Фигура ограничена 16 и x^2. Найдите обе точки их пересечения, ширину области и площадь без отдельного вычисления левой половины.
Задание 5. Фигура ограничена 26 и x^2 + 1. Найдите обе точки их пересечения, ширину области и площадь без отдельного вычисления левой половины.
Задание 6. Фигура ограничена 36 и x^2. Найдите обе точки их пересечения, ширину области и площадь без отдельного вычисления левой половины.
Проверка на непривычной кривой и на неполной симметрии
Задание 7. В системе 4 и x^2 восстановите точки соприкосновения границ, запишите разность и проверьте её чётность; найдите площадь.
Задание 8. В системе 20 и 2·x^2 + 2 восстановите точки соприкосновения границ, запишите разность и проверьте её чётность; найдите площадь.
Задание 9. В системе 4 и 3·x^2 + 1 восстановите точки соприкосновения границ, запишите разность и проверьте её чётность; найдите площадь.
Задание 10. В системе 19 и x^2 + 3 восстановите точки соприкосновения границ, запишите разность и проверьте её чётность; найдите площадь.
Задание 11. В системе 14 и 3·x^2 + 2 восстановите точки соприкосновения границ, запишите разность и проверьте её чётность; найдите площадь.
Задание 12. В системе 13 и x^2 + 4 восстановите точки соприкосновения границ, запишите разность и проверьте её чётность; найдите площадь.
Отклонения от симметрии: восстановите центр
Задание 13. Кривые x^2 − 2·x + 1 и 4. Найдите ось симметрии, обе точки пересечения, а также площадь. Можно ли удваивать интеграл от нуля?
Задание 14. Кривые x^2 + 4·x + 4 и 9. Найдите ось симметрии, обе точки пересечения, а также площадь. Можно ли удваивать интеграл от нуля?
Задание 15. Кривые 2·x^2 − 12·x + 18 и 2. Найдите ось симметрии, обе точки пересечения, а также площадь. Можно ли удваивать интеграл от нуля?
Отдельный случай: две точки есть, но фигура несимметрична
Задание 16. Можно ли найти площадь между x^2 + x и 2 как 2∫₀²(2−x²−x)dx? Укажите реальные пересечения и верный способ.
Ответы и проверенные решения
1. Ответ: x = ±1; S = 4/3 кв. ед..
Обоснование: Сокращаем одинаковый свободный член: x² = 1. Поэтому x = ±1. Ординаты равны 2. Ширина 2. Площадь 2∫₀^1 (1−x²)dx = 4·1³/3 = 4/3.
2. Ответ: x = ±2; S = 32/3 кв. ед..
Обоснование: Сокращаем одинаковый свободный член: x² = 4. Поэтому x = ±2. Ординаты равны 4. Ширина 4. Площадь 2∫₀^2 (4−x²)dx = 4·2³/3 = 32/3.
3. Ответ: x = ±3; S = 36 кв. ед..
Обоснование: Сокращаем одинаковый свободный член: x² = 9. Поэтому x = ±3. Ординаты равны 10. Ширина 6. Площадь 2∫₀^3 (9−x²)dx = 4·3³/3 = 36.
4. Ответ: x = ±4; S = 256/3 кв. ед..
Обоснование: Сокращаем одинаковый свободный член: x² = 16. Поэтому x = ±4. Ординаты равны 16. Ширина 8. Площадь 2∫₀^4 (16−x²)dx = 4·4³/3 = 256/3.
5. Ответ: x = ±5; S = 500/3 кв. ед..
Обоснование: Сокращаем одинаковый свободный член: x² = 25. Поэтому x = ±5. Ординаты равны 26. Ширина 10. Площадь 2∫₀^5 (25−x²)dx = 4·5³/3 = 500/3.
6. Ответ: x = ±6; S = 288 кв. ед..
Обоснование: Сокращаем одинаковый свободный член: x² = 36. Поэтому x = ±6. Ординаты равны 36. Ширина 12. Площадь 2∫₀^6 (36−x²)dx = 4·6³/3 = 288.
7. Ответ: абсциссы -2, 2; S = 32/3 кв. ед..
Обоснование: Разность = 4 − x^2, при замене x на −x она не меняется. Уравнение 1(4−x²)=0 имеет корни -2 и 2. S = 2∫₀^2 4 − x^2 dx = 32/3.
8. Ответ: абсциссы -3, 3; S = 72 кв. ед..
Обоснование: Разность = 18 − 2·x^2, при замене x на −x она не меняется. Уравнение 2(9−x²)=0 имеет корни -3 и 3. S = 2∫₀^3 18 − 2·x^2 dx = 72.
9. Ответ: абсциссы -1, 1; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Разность = 3 − 3·x^2, при замене x на −x она не меняется. Уравнение 3(1−x²)=0 имеет корни -1 и 1. S = 2∫₀^1 3 − 3·x^2 dx = 4.
10. Ответ: абсциссы -4, 4; S = 256/3 кв. ед..
Обоснование: Разность = 16 − x^2, при замене x на −x она не меняется. Уравнение 1(16−x²)=0 имеет корни -4 и 4. S = 2∫₀^4 16 − x^2 dx = 256/3.
11. Ответ: абсциссы -2, 2; S = 32 кв. ед..
Обоснование: Разность = 12 − 3·x^2, при замене x на −x она не меняется. Уравнение 3(4−x²)=0 имеет корни -2 и 2. S = 2∫₀^2 12 − 3·x^2 dx = 32.
12. Ответ: абсциссы -3, 3; S = 36 кв. ед..
Обоснование: Разность = 9 − x^2, при замене x на −x она не меняется. Уравнение 1(9−x²)=0 имеет корни -3 и 3. S = 2∫₀^3 9 − x^2 dx = 36.
13. Ответ: ось x=1; корни -1 и 3; S = 32/3 кв. ед..
Обоснование: Вводим t = x−(1). Тогда t²=4, x=-1 или 3. Ось симметрии x=1. Площадь можно удвоить только относительно этой оси: 2∫₀^2 1(4−t²)dt = 32/3.
Важно: При смещённой оси интеграл от x=0 обычно не равен половине площади.
14. Ответ: ось x=-2; корни -5 и 1; S = 36 кв. ед..
Обоснование: Вводим t = x−(-2). Тогда t²=9, x=-5 или 1. Ось симметрии x=-2. Площадь можно удвоить только относительно этой оси: 2∫₀^3 1(9−t²)dt = 36.
Важно: При смещённой оси интеграл от x=0 обычно не равен половине площади.
15. Ответ: ось x=3; корни 2 и 4; S = 8/3 кв. ед..
Обоснование: Вводим t = x−(3). Тогда t²=1, x=2 или 4. Ось симметрии x=3. Площадь можно удвоить только относительно этой оси: 2∫₀^1 2(1−t²)dt = 8/3.
Важно: При смещённой оси интеграл от x=0 обычно не равен половине площади.
16. Ответ: точки x=−2 и x=1; S = 9/2; предложенное удвоение неверно..
Обоснование: Из x²+x=2 получаем (x+2)(x−1)=0, значит x=−2 и 1. Ось симметрии разности находится при x=−1/2, не при нуле. Поэтому интегрируем от −2 до 1: ∫₋₂¹(2−x²−x)dx = 9/2.
Вывод исследовательского урока: две симметричные точки удобно восстанавливать из чётной разности границ или из смещённой переменной x−h. Но сначала докажите симметрию, а уже затем удваивайте половину площади.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.