Разбиение области на части между двумя параболами: проверочная работа по математике, 11 класс
Класс: 11. Проверочная работа: смена верхней параболы на отрезке.
Диагностика: ученик записал S = ∫ₐᵇ(f−g)dx и получил 0. Он объявил, что область между параболами исчезла. Ошибка в том, что графики поменялись местами: равенство алгебраических интегралов не означает нулевой геометрической площади.
Содержание статьи4 раздела
Исправьте шесть типичных ошибок
Задание 1. Для парабол 2·x^2 − 4 и x^2 на [-3; 3] ученик сложил части как интеграл со знаком. Найдите точки смены верхней границы, верно разбейте область на части и вычислите площадь.
Задание 2. Для парабол 2·x^2 − 2·x − 3 и x^2 на [-2; 4] ученик выбрал верхнюю параболу по старшему коэффициенту. Найдите точки смены верхней границы, верно разбейте область на части и вычислите площадь.
Задание 3. Для парабол 2·x^2 − 4·x и x^2 на [-1; 5] ученик подставил только один корень. Найдите точки смены верхней границы, верно разбейте область на части и вычислите площадь.
Задание 4. Для парабол 3·x^2 + 4·x − 6 и x^2 на [-4; 2] ученик перепутал общий предел с точкой встречи. Найдите точки смены верхней границы, верно разбейте область на части и вычислите площадь.
Задание 5. Для парабол 2·x^2 − 6·x + 5 и x^2 на [0; 6] ученик сменил знак всего интеграла. Найдите точки смены верхней границы, верно разбейте область на части и вычислите площадь.
Задание 6. Для парабол 3·x^2 − 4·x − 16 и x^2 на [-3; 5] ученик не проверил средний промежуток. Найдите точки смены верхней границы, верно разбейте область на части и вычислите площадь.
Закрепление: две параболы и вертикальная полоса
Задание 7. Параболы x^2 + 3 и x + 5 отрезаны линиями x = -2 и x = 3. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 8. Параболы x^2 + 2 и 3·x + 2 отрезаны линиями x = -1 и x = 4. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 9. Параболы x^2 + 1 и -x^2 − 2·x + 5 отрезаны линиями x = -3 и x = 2. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 10. Параболы x^2 + 4 и 5·x отрезаны линиями x = 0 и x = 5. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 11. Параболы x^2 + 2 и -2·x^2 + 6·x + 2 отрезаны линиями x = -1 и x = 3. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 12. Параболы x^2 + 5 и 5 − 3·x отрезаны линиями x = -4 и x = 1. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 13. Параболы x^2 + 3 и -x^2 + 12·x − 13 отрезаны линиями x = 1 и x = 5. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Задание 14. Параболы x^2 + 1 и -2·x^2 + 12·x − 8 отрезаны линиями x = 0 и x = 4. Укажите, какая выше слева, между пересечениями и справа; найдите площадь всех частей.
Одна ситуация без внутренней смены
Задание 15. Для x^2 + 1 и 11·x − 29 в полосе [−1;2] нужна ли внутренняя граница разбиения?
Ответы и проверенные решения
1. Ответ: границы -2, 2; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разность парабол = 1(x−(-2))(x−(2)). Пересечения x=-2, x=2. Внутри корней знак отрицателен, снаружи положителен. Части на [-3; -2], [-2; 2], [2; 3] дают 7/3, 32/3, 7/3. Их складываем без минуса: S = 46/3.
Важно: Проверка в тестовой точке каждого интервала важнее догадки по виду ветвей.
2. Ответ: границы -1, 3; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разность парабол = 1(x−(-1))(x−(3)). Пересечения x=-1, x=3. Внутри корней знак отрицателен, снаружи положителен. Части на [-2; -1], [-1; 3], [3; 4] дают 7/3, 32/3, 7/3. Их складываем без минуса: S = 46/3.
Важно: Проверка в тестовой точке каждого интервала важнее догадки по виду ветвей.
3. Ответ: границы 0, 4; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разность парабол = 1(x−(0))(x−(4)). Пересечения x=0, x=4. Внутри корней знак отрицателен, снаружи положителен. Части на [-1; 0], [0; 4], [4; 5] дают 7/3, 32/3, 7/3. Их складываем без минуса: S = 46/3.
Важно: Проверка в тестовой точке каждого интервала важнее догадки по виду ветвей.
4. Ответ: границы -3, 1; S = 92/3 кв. ед..
Обоснование: Разность парабол = 2(x−(-3))(x−(1)). Пересечения x=-3, x=1. Внутри корней знак отрицателен, снаружи положителен. Части на [-4; -3], [-3; 1], [1; 2] дают 14/3, 64/3, 14/3. Их складываем без минуса: S = 92/3.
Важно: Проверка в тестовой точке каждого интервала важнее догадки по виду ветвей.
5. Ответ: границы 1, 5; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разность парабол = 1(x−(1))(x−(5)). Пересечения x=1, x=5. Внутри корней знак отрицателен, снаружи положителен. Части на [0; 1], [1; 5], [5; 6] дают 7/3, 32/3, 7/3. Их складываем без минуса: S = 46/3.
Важно: Проверка в тестовой точке каждого интервала важнее догадки по виду ветвей.
6. Ответ: границы -2, 4; S = 256/3 кв. ед..
Обоснование: Разность парабол = 2(x−(-2))(x−(4)). Пересечения x=-2, x=4. Внутри корней знак отрицателен, снаружи положителен. Части на [-3; -2], [-2; 4], [4; 5] дают 20/3, 72, 20/3. Их складываем без минуса: S = 256/3.
Важно: Проверка в тестовой точке каждого интервала важнее догадки по виду ветвей.
7. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = x^2 − x − 2. Она положительна при x < -1 и x > 2, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
8. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = x^2 − 3·x. Она положительна при x < 0 и x > 3, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
9. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 49/3 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = 2·x^2 + 2·x − 4. Она положительна при x < -2 и x > 1, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 11/3 + 9 + 11/3 = 49/3.
10. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = x^2 − 5·x + 4. Она положительна при x < 1 и x > 4, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
11. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 12 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = 3·x^2 − 6·x. Она положительна при x < 0 и x > 2, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 4 + 4 + 4 = 12.
12. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = x^2 + 3·x. Она положительна при x < -3 и x > 0, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
13. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 8 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = 2·x^2 − 12·x + 16. Она положительна при x < 2 и x > 4, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 8/3 + 8/3 + 8/3 = 8.
14. Ответ: слева первая; посередине вторая; справа первая; S = 12 кв. ед..
Обоснование: Вычитаем: первая минус вторая = 3·x^2 − 12·x + 9. Она положительна при x < 1 и x > 3, отрицательна между корнями. Следовательно, верхняя парабола: первая / вторая / первая. Три геометрические части: 4 + 4 + 4 = 12.
15. Ответ: разбивать не нужно; S = 153/2 кв. ед..
Обоснование: Разность (x−5)(x−6) положительна в полосе; обе точки пересечения 5 и 6 лежат справа. Поэтому одно интегрирование даёт S = 153/2.
Критерий проверки: один балл за оба корня, один — за направление разности на каждой части, один — за сумму положительных площадей. Если получено отрицательное значение или нуль при наличии непустой области, вернитесь к таблице знаков.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.