Разбиение области на части для области с пересечением оси — карточки с ответами, 11 класс
Класс: 11. Геометрическая площадь при переходе кривой через Ox.
Практикум для 11 класса. Учебная цель — отличать ориентированный интеграл от площади, правильно выявлять все пересечения оси и применять разбиение на каждом участке. Здесь нет «интеграла площади с минусом»: площадь всегда складывается из положительных величин.
Содержание статьи5 разделов
Метод в двух строках
Если f(x) не меняет знак на [a;b], геометрическая площадь между графиком и Ox равна |∫ₐᵇf(x)dx|. Если меняет, найдите все корни внутри отрезка и сложите модули интегралов по частям. Нельзя брать модуль только от общей суммы: взаимное сокращение участков скрывает часть площади.
Разобранный случай. f(x)=x²−1, x∈[−2;2]. Нули −1 и 1. Внешние части расположены над Ox, средняя — под ней. S = ∫₋₂⁻¹f + ∫₋₁¹(−f) + ∫₁²f = 4/3 + 4/3 + 4/3 = 4 кв. ед.; а ориентированный интеграл от −2 до 2 составляет 4/3.
Уровень 1 — одна смена знака и разные границы
Задание 1. График x − 1 проходит через Ox в одной точке внутри [0;3]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 2. График x + 1 проходит через Ox в одной точке внутри [-3;1]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 3. График 2·x − 4 проходит через Ox в одной точке внутри [0;4]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 4. График x + 2 проходит через Ox в одной точке внутри [-4;0]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 5. График 3·x проходит через Ox в одной точке внутри [-2;2]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 6. График x − 3 проходит через Ox в одной точке внутри [1;5]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 7. График 2·x − 2 проходит через Ox в одной точке внутри [-1;3]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Задание 8. График x проходит через Ox в одной точке внутри [-3;1]. Найдите эту точку и площадь фигуры между графиком и осью.
Уровень 2 — парабола с двумя нулями
Задание 9. Для x^2 − 1 на [-2;2] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 10. Для x^2 + x − 2 на [-3;2] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 11. Для 2·x^2 − 4·x на [-1;3] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 12. Для x^2 + 3·x на [-4;1] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 13. Для 2·x^2 − 8·x + 6 на [0;4] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 14. Для x^2 − 6·x + 8 на [1;5] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 15. Для x^2 − 3·x на [-1;4] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Задание 16. Для x^2 − 4 на [-3;3] найдите две точки перехода через ось и три площади. Сравните с модулем общего интеграла.
Уровень 3 — несколько действий и неоднозначный знак
Задание 17. Функция 4 − x^2 на [-3;3]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 18. Функция -2·x^2 + 4·x + 6 на [-2;4]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 19. Функция -x^2 + 4·x на [-1;5]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 20. Функция -3·x^2 + 9·x − 6 на [0;3]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 21. Функция -2·x^2 + 14·x − 20 на [1;6]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 22. Функция -x^2 − 2·x + 3 на [-4;2]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 23. Функция -2·x^2 + 2·x на [-1;2]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Задание 24. Функция -x^2 + 5·x − 4 на [0;5]. Не вычисляя площадь по одному общему интегралу, определите знак на трёх частях; найдите S.
Ответы и проверенные решения
1. Ответ: x=1; S = 5/2 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=1. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 1/2 + 2 = 5/2.
2. Ответ: x=-1; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=-1. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 2 + 2 = 4.
3. Ответ: x=2; S = 8 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=2. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 4 + 4 = 8.
4. Ответ: x=-2; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=-2. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 2 + 2 = 4.
5. Ответ: x=0; S = 12 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=0. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 6 + 6 = 12.
6. Ответ: x=3; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=3. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 2 + 2 = 4.
7. Ответ: x=1; S = 8 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=1. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 4 + 4 = 8.
8. Ответ: x=0; S = 5 кв. ед..
Обоснование: Нуль x=0. На первой части знак минус, на второй — противоположный. Сумма положительных частей: 9/2 + 1/2 = 5.
9. Ответ: нули -1, 1; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Корни: -1, 1. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 4/3, 4/3, 4/3. Поэтому S=4. Для контроля |∫f| = 4/3; оно не всегда совпадает с S.
10. Ответ: нули -2, 1; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Корни: -2, 1. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 11/6, 9/2, 11/6. Поэтому S=49/6. Для контроля |∫f| = 5/6; оно не всегда совпадает с S.
11. Ответ: нули 0, 2; S = 8 кв. ед..
Обоснование: Корни: 0, 2. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 8/3, 8/3, 8/3. Поэтому S=8. Для контроля |∫f| = 8/3; оно не всегда совпадает с S.
12. Ответ: нули -3, 0; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Корни: -3, 0. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 11/6, 9/2, 11/6. Поэтому S=49/6. Для контроля |∫f| = 5/6; оно не всегда совпадает с S.
13. Ответ: нули 1, 3; S = 8 кв. ед..
Обоснование: Корни: 1, 3. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 8/3, 8/3, 8/3. Поэтому S=8. Для контроля |∫f| = 8/3; оно не всегда совпадает с S.
14. Ответ: нули 2, 4; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Корни: 2, 4. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 4/3, 4/3, 4/3. Поэтому S=4. Для контроля |∫f| = 4/3; оно не всегда совпадает с S.
15. Ответ: нули 0, 3; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Корни: 0, 3. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 11/6, 9/2, 11/6. Поэтому S=49/6. Для контроля |∫f| = 5/6; оно не всегда совпадает с S.
16. Ответ: нули -2, 2; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Корни: -2, 2. Снаружи корней знак положителен, между ними отрицателен. Части: 7/3, 32/3, 7/3. Поэтому S=46/3. Для контроля |∫f| = 6; оно не всегда совпадает с S.
17. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −1(x−(-2))(x−(2)). Знак на (−∞;-2) и (2;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 7/3, 32/3, 7/3; итог 46/3.
18. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 92/3 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −2(x−(-1))(x−(3)). Знак на (−∞;-1) и (3;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 14/3, 64/3, 14/3; итог 92/3.
19. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −1(x−(0))(x−(4)). Знак на (−∞;0) и (4;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 7/3, 32/3, 7/3; итог 46/3.
20. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 11/2 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −3(x−(1))(x−(2)). Знак на (−∞;1) и (2;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 5/2, 1/2, 5/2; итог 11/2.
21. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 49/3 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −2(x−(2))(x−(5)). Знак на (−∞;2) и (5;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 11/3, 9, 11/3; итог 49/3.
22. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 46/3 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −1(x−(-3))(x−(1)). Знак на (−∞;-3) и (1;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 7/3, 32/3, 7/3; итог 46/3.
23. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 11/3 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −2(x−(0))(x−(1)). Знак на (−∞;0) и (1;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 5/3, 1/3, 5/3; итог 11/3.
24. Ответ: слева −; внутри +; справа −; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Разложение: −1(x−(1))(x−(4)). Знак на (−∞;1) и (4;+∞) отрицателен, между корнями положителен. Площади: 11/6, 9/2, 11/6; итог 49/6.
Главная проверка: изобразите короткую схему знаков, даже когда не строите полноценный график. При разбиении на отрезки не пропускайте нуль на границе и не считайте одну и ту же часть дважды.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.