Разбиение области на части при вертикальных ограничениях — диагностика ошибок, 11 класс
Класс: 11. Диагностика областей с заданными вертикальными границами.
Представьте поперечный профиль декоративной панели. Две кривые задают верхний и нижний контуры, а две вертикальные линии — фактические края. Нужно вычислить площадь листа для раскроя: если контуры меняются местами, необходимо переключиться на другую «верхнюю» функцию.
Содержание статьи3 раздела
Исходные данные макета и первая ошибка
| Величина | Модель | Назначение |
|---|---|---|
| Верхний или нижний контур A | y = x² − 2x + 3 |
кривая, не всегда верхняя |
| Контур B | y = 3 |
вторая кривая |
| Края | x = −1 и x = 3 |
вертикальные ограничения |
| Точки равенства | x = 0 и x = 2 |
внутренние границы смены контура |
Ошибочная запись технолога: S=∫₋₁³(A−B)dx. Разность x(x−2) на [0;2] отрицательна. Разбивать нужно по x=0 и x=2: слева A выше, посередине B, справа A. Иначе рассчитанная площадь окажется существенно занижена.
Задание 1. В проекте на полосе [-2; 2] даны контуры A=x^2 + 3, B=4. Ученик интегрировал разность на всей ширине без разбиения. Назовите ошибку, разделите область и найдите площадь панели.
Задание 2. В проекте на полосе [-1; 3] даны контуры A=x^2 − 2·x + 5, B=5. Ученик перепутал вертикальную прямую с пересечением кривых. Назовите ошибку, разделите область и найдите площадь панели.
Задание 3. В проекте на полосе [-3; 1] даны контуры A=x^2 + 2·x + 6, B=6. Ученик считал среднюю часть отрицательной площадью. Назовите ошибку, разделите область и найдите площадь панели.
Задание 4. В проекте на полосе [0; 4] даны контуры A=x^2 − 4·x + 10, B=7. Ученик поставил дважды интервал между корнями. Назовите ошибку, разделите область и найдите площадь панели.
Задание 5. В проекте на полосе [-1; 4] даны контуры A=x^2 − 3·x + 8, B=8. Ученик поменял знак только в ответе. Назовите ошибку, разделите область и найдите площадь панели.
Серия вопросов к другой панели
Задание 6. Как найти все точки, где контуры меняются местами?
Задание 7. Какая кривая выше на участке [−2;−1]?
Задание 8. Какая кривая выше на [−1;2]?
Задание 9. Какая кривая выше на [2;3]?
Задание 10. Чему равна площадь только средней полосы?
Задание 11. Найдите полную площадь панели, не вычитая разные части друг из друга.
Задание 12. Что изменится, если разрешённая полоса будет [0;1]?
Задание 13. Почему интеграл от A−B на [−2;3] может давать неверную площадь?
Задание 14. Может ли вертикальная граница x=−2 считаться пересечением контуров?
Задание 15. Какая первая проверка после нахождения корней?
Ответы и проверенные решения
1. Ответ: x=-1, 1; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Разность A−B = x^2 − 1. Точки смены порядка: -1, 1. Геометрические части: 4/3, 4/3, 4/3. Итого S=4 кв. ед. Поправка: считать модуль каждой части, а не общего интеграла.
2. Ответ: x=0, 2; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Разность A−B = x^2 − 2·x. Точки смены порядка: 0, 2. Геометрические части: 4/3, 4/3, 4/3. Итого S=4 кв. ед. Поправка: считать модуль каждой части, а не общего интеграла.
3. Ответ: x=-2, 0; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Разность A−B = x^2 + 2·x. Точки смены порядка: -2, 0. Геометрические части: 4/3, 4/3, 4/3. Итого S=4 кв. ед. Поправка: считать модуль каждой части, а не общего интеграла.
4. Ответ: x=1, 3; S = 4 кв. ед..
Обоснование: Разность A−B = x^2 − 4·x + 3. Точки смены порядка: 1, 3. Геометрические части: 4/3, 4/3, 4/3. Итого S=4 кв. ед. Поправка: считать модуль каждой части, а не общего интеграла.
5. Ответ: x=0, 3; S = 49/6 кв. ед..
Обоснование: Разность A−B = x^2 − 3·x. Точки смены порядка: 0, 3. Геометрические части: 11/6, 9/2, 11/6. Итого S=49/6 кв. ед. Поправка: считать модуль каждой части, а не общего интеграла.
6. Ответ: −1 и 2.
Обоснование: Решаем A=B, то есть (x+1)(x−2)=0; x=−1 и x=2.
7. Ответ: A.
Обоснование: Вычитание A−B=(x+1)(x−2)>0 при x=−1,5; значит A выше.
8. Ответ: B.
Обоснование: При x=0 разность −2<0, поэтому B выше.
9. Ответ: A.
Обоснование: При x=2,5 оба множителя положительны, A выше.
10. Ответ: 9/2.
Обоснование: Она равна −∫₋₁²(A−B)dx = 9/2.
11. Ответ: 49/6.
Обоснование: S=11/6 + 9/2 + 11/6 = 49/6.
12. Ответ: 13/6.
Обоснование: На [0;1] B выше A, поэтому берём ∫₀¹(B−A)dx=13/6.
13. Ответ: нужно разбить.
Обоснование: Разность A−B меняет знак дважды, часть под осью разности сокращает положительные части.
14. Ответ: нет.
Обоснование: Нет: A(−2)−B(−2)=(−1)(−4)=4≠0.
15. Ответ: проверить принадлежность полосе.
Обоснование: Сопоставить корни с заданным отрезком [−2;3] и записать точки разбиения по возрастанию.
Рекомендация для самопроверки: к каждому найденному x подставляйте координату в обе формулы и убеждайтесь, что получены одинаковые высоты. Площадь панели должна быть неотрицательной и не может исчезнуть из-за сокращения интегралов.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.