Сравнение расстояний точек по уравнению плоскости в координатах: карточки с ответами, 11 класс

Исследовательский урок. Сравним расстояния до одной плоскости, заданной Ax + By + Cz + D = 0. Для точек P и Q знаменатель одинаков: √(A² + B² + C²). Поэтому достаточно сравнить модули значений левой части.

Наблюдение: два числа по разные стороны плоскости

Для плоскости x + 2y + 2z − 4 = 0 точки P(0;2;1) и Q(4;0;−2) дают соответственно числа 2 и −4. Но расстояния равны 2/3 и 4/3, значит P ближе. Знак показывает сторону плоскости, а не расстояние.

Гипотеза и контрпример

Гипотеза: «чем меньше результат подстановки со знаком, тем ближе точка». Она ложна: значения −9 и +2 дают расстояния 9/‖n‖ и 2/‖n‖, второе меньше. Верное правило учитывает модуль.

Исследовательская таблица: определите, кто ближе

Задания к исследованию

1. Для строки 1 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
2. Для строки 2 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
3. Для строки 3 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
4. Для строки 4 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
5. Для строки 5 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
6. Для строки 6 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
7. Для строки 7 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
8. Для строки 8 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
9. Для строки 9 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
10. Для строки 10 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
11. Для строки 11 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.
12. Для строки 12 вычислите значения Ax+By+Cz+D в обеих точках, затем сравните расстояния без вычисления квадратного корня.

Дополнительные вопросы (не изменяют номера заданий): почему расстояние неотрицательно? Можно ли сравнивать числители, если плоскости разные? Что произойдёт, если умножить все коэффициенты плоскости на −2?

Как проводить исследование без лишних вычислений

Первый шаг: убедитесь, что обе точки сравниваются с одной и той же плоскостью. Если коэффициенты A, B, C, D одинаковы, норма нормали у расстояний совпадает. Именно поэтому можно не извлекать корень из A²+B²+C².

Второй шаг: выпишите результат подстановки со знаком. Это полезно для ответа на вопрос о сторонах плоскости, но для расстояния надо взять абсолютное значение. Например, для плоскости 3x + 4y − 12 = 0 точки U(0;0;0) и V(4;0;0) дают −12 и 0. Следовательно, d(U)=12/5, а d(V)=0. Отрицательное число −12 не означает отрицательного расстояния.

Третий шаг: проверьте норму вектора (A;B;C). Если все A, B, C равны нулю, такое уравнение не задаёт плоскость, а формулу расстояния использовать нельзя. В наших строках нормали ненулевые.

Контрпример к переносу правила на разные плоскости: у Π₁: x=0 нормаль имеет длину 1; у Π₂: 10x=0 длина нормали равна 10. Для P(1;0;0) модули левой части равны 1 и 10, однако обе записи задают одну плоскость и расстояние в обоих случаях равно 1. Нельзя сравнивать числители двух разных уравнений без учёта знаменателя.

Контроль совпадения. Если модули подстановки равны, то расстояния тоже равны, даже если точки лежат по разные стороны плоскости. Например, для x=0 точки (−3;1;0) и (3;−2;5) равноудалены от неё на 3 единицы. Строка с таким ответом не является ошибкой: сравнение допускает равенство.

Проверка ответа без калькулятора

Когда знаменатели совпадают, сравнивайте не квадратные корни, а целые числители. Можно также возвести обе неотрицательные дроби в квадрат: порядок сохранится, хотя обычно это только удлиняет вычисления. Отдельно проверьте знак минус перед D и порядок координат x, y, z. Если в условии координаты точки отрицательные, используйте скобки при подстановке.

Ключ и доказательство правила

1. Числители: |-3|=3 и |8|=8; общий знаменатель √9. P ближе.
2. Числители: |2|=2 и |-4|=4; общий знаменатель √9. P ближе.
3. Числители: |-1|=1 и |-3|=3; общий знаменатель √25. P ближе.
4. Числители: |-2|=2 и |3|=3; общий знаменатель √25. P ближе.
5. Числители: |-2|=2 и |7|=7; общий знаменатель √49. P ближе.
6. Числители: |4|=4 и |2|=2; общий знаменатель √9. Q ближе.
7. Числители: |-5|=5 и |0|=0; общий знаменатель √25. Q ближе.
8. Числители: |-4|=4 и |0|=0; общий знаменатель √9. Q ближе.
9. Числители: |-3|=3 и |1|=1; общий знаменатель √3. Q ближе.
10. Числители: |-2|=2 и |8|=8; общий знаменатель √25. P ближе.
11. Числители: |-8|=8 и |11|=11; общий знаменатель √169. P ближе.
12. Числители: |4|=4 и |-6|=6; общий знаменатель √49. P ближе.

Если обе точки измеряются до одной и той же плоскости, деление на положительный общий знаменатель сохраняет порядок чисел. Для разных плоскостей знаменатели могут отличаться и простое сравнение модулей неверно.

Проверка особого случая: если точка лежит на плоскости, числитель равен 0, то есть расстояние тоже 0. Умножение всего уравнения на ненулевое число меняет и числитель, и знаменатель в одинаковое число раз; геометрическое расстояние сохраняется.