Сравнение расстояний точек по нормальному вектору — тренажёр для 11 класса

Диагностика ошибок. Нормальный вектор n задаёт ориентацию плоскости, но один n без точки плоскости не задаёт её положение. Ниже плоскость проходит через известную точку R; расстояние от P равно |n·(P−R)|/‖n‖.

Первый неверный разбор

Дано n=(2;−1;2), R=(1;0;0), P=(2;0;1). Ученик написал d=2·2+(−1)·0+2·1=6. Ошибки две: он забыл вычесть R и не разделил на длину нормали. Правильно: P−R=(1;0;1), скалярное произведение 4, длина n равна 3, поэтому d=4/3.

Найдите и исправьте пять разных ошибок

1. Для n=(1;2;2), R=(0;0;0), P=(1;0;0) записано d=1. Укажите пропущенный шаг.
2. Для n=(0;3;4), R=(0;0;0), P=(0;−1;0) записано d=−3/5. Укажите пропущенный шаг.
3. Для n=(2;0;0), R=(3;0;0), P=(4;0;0) написано d=4. Укажите пропущенный шаг.
4. По n=(1;1;0) без точки плоскости объявлено, что P(1;2;0) удалена на 3/√2. Укажите пропущенный шаг.
5. При замене n=(1;2;2) на (−2;−4;−4) расстояние объявили вдвое большим. Укажите пропущенный шаг.

Самостоятельная серия: сначала вычесть R, затем вычислить модуль

6. Нормаль n=(1, 2, 2), точка плоскости R(0, 0, 0), точки P(3, 0, 0) и Q(0, 3, 0). Какая ближе к плоскости?
7. Нормаль n=(0, 3, 4), точка плоскости R(1, 0, 0), точки P(1, 1, 1) и Q(1, 2, -1). Какая ближе к плоскости?
8. Нормаль n=(2, 0, 1), точка плоскости R(2, 1, 0), точки P(0, 1, 1) и Q(3, 1, 1). Какая ближе к плоскости?
9. Нормаль n=(2, -1, 2), точка плоскости R(0, 2, 0), точки P(1, 0, 2) и Q(2, 3, 0). Какая ближе к плоскости?
10. Нормаль n=(1, 1, 1), точка плоскости R(0, 0, 1), точки P(2, 1, 1) и Q(1, 1, 0). Какая ближе к плоскости?
11. Нормаль n=(3, 4, 0), точка плоскости R(2, 0, 1), точки P(4, 0, 1) и Q(2, 1, 1). Какая ближе к плоскости?
12. Нормаль n=(2, 3, 6), точка плоскости R(-1, 0, 0), точки P(0, 1, 1) и Q(0, 0, 1). Какая ближе к плоскости?
13. Нормаль n=(0, 5, 12), точка плоскости R(0, 0, 0), точки P(1, 0, 1) и Q(0, 1, 0). Какая ближе к плоскости?
14. Нормаль n=(1, -2, 2), точка плоскости R(1, 1, 1), точки P(1, 3, 0) и Q(-1, 1, 1). Какая ближе к плоскости?
15. Нормаль n=(4, 0, 3), точка плоскости R(0, 0, 2), точки P(1, 2, 0) и Q(0, 1, 3). Какая ближе к плоскости?

Как проверить исправление и найти скрытую проблему

Решение считается проверенным не после получения дроби, а когда указаны исходная нормаль, точка R на плоскости и разность P−R. Например, для n=(2;0;1), R=(2;1;0), P=(0;1;1) получаем P−R=(−2;0;1), числитель |−4+1|=3, знаменатель √5. Сравнивая с Q=(3;1;1), находим |2+1|=3: точки равноудалены, хотя находятся в разных положениях.

Можно вместо R составить уравнение n·(X−R)=0. Если n=(0;3;4), R=(1;0;0), получится 3y+4z=0. Подстановка самой точки R должна дать 0; если не даёт, уравнение плоскости записано с ошибкой.

Если умножить нормаль на −3, скалярное произведение поменяет знак и утроится по модулю, норма также утроится. Расстояние останется тем же. В отличие от этого замена самой опорной точки R произвольной точкой, не лежащей в исходной плоскости, изменит плоскость и способна изменить ответ.

Ответы и объяснения к ошибкам

1. Забыли знаменатель: ‖n‖=3, значит d=1/3.
2. Расстояние неотрицательно: d=3/5.
3. Нужно вычесть R: |2·(4−3)|/2=1.
4. Уравнение не определено без постоянного члена или точки R; численный ответ невозможен.
5. Один и тот же объект: модуль числителя и длина нормали увеличиваются в 2 раза, расстояние не меняется.

Ключ к самостоятельной серии

6. n·(P−R)=3, n·(Q−R)=6; расстояния 3/√9 и 6/√9. P ближе.
7. n·(P−R)=7, n·(Q−R)=2; расстояния 7/√25 и 2/√25. Q ближе.
8. n·(P−R)=-3, n·(Q−R)=3; расстояния 3/√5 и 3/√5. расстояния равны.
9. n·(P−R)=8, n·(Q−R)=3; расстояния 8/√9 и 3/√9. Q ближе.
10. n·(P−R)=3, n·(Q−R)=1; расстояния 3/√3 и 1/√3. Q ближе.
11. n·(P−R)=6, n·(Q−R)=4; расстояния 6/√25 и 4/√25. Q ближе.
12. n·(P−R)=11, n·(Q−R)=8; расстояния 11/√49 и 8/√49. Q ближе.
13. n·(P−R)=12, n·(Q−R)=5; расстояния 12/√169 и 5/√169. Q ближе.
14. n·(P−R)=-6, n·(Q−R)=-2; расстояния 6/√9 и 2/√9. Q ближе.
15. n·(P−R)=-2, n·(Q−R)=3; расстояния 2/√25 и 3/√25. P ближе.

Обратная проверка: подставьте P=R — получится 0. При подмене n на −n расстояние не изменится. Если отсутствует R или коэффициент D, одной только нормали недостаточно: бесконечно много параллельных плоскостей имеют эту нормаль.