Сравнение расстояний точек для взаимно перпендикулярных плоскостей: упражнения разной сложности, 11 класс

Три уровня сложности. Расстояние до плоскости вычисляют по модулю линейного выражения, делённому на длину нормали. Две плоскости перпендикулярны, когда их нормали ортогональны: n₁·n₂=0.

Важно: перпендикулярность плоскостей сама по себе не позволяет сравнивать расстояния по числителям. Ниже в каждой паре нормы нормалей специально равны; это надо проверить, а не предполагать.

Уровень I: какая из двух перпендикулярных плоскостей ближе?

1. Для P(0, 0, 0) сравните расстояния до Π₁: 1x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+1y+0z-2=0.
2. Для P(1, 2, 0) сравните расстояния до Π₁: 2x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+2y+0z-3=0.
3. Для P(-2, 1, 1) сравните расстояния до Π₁: 0x+1y+1z-2=0 и Π₂: 0x+1y-1z-4=0.
4. Для P(3, -1, 0) сравните расстояния до Π₁: 1x+0y+1z-3=0 и Π₂: 1x+0y-1z-1=0.
5. Для P(0, 1, -2) сравните расстояния до Π₁: 1x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+1y+0z-2=0.
6. Для P(2, 0, 1) сравните расстояния до Π₁: 2x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+2y+0z-3=0.
7. Для P(-1, -1, 2) сравните расстояния до Π₁: 0x+1y+1z-2=0 и Π₂: 0x+1y-1z-4=0.
8. Для P(4, 2, -1) сравните расстояния до Π₁: 1x+0y+1z-3=0 и Π₂: 1x+0y-1z-1=0.

Уровень II: найдите ошибку в сравнении расстояний

9. P(1, 0, 2), Π₁: 2x-1y+0z-1=0, Π₂: 1x+2y+0z-3=0. Ученик выбрал Π₂, сравнив значения со знаками 1 и -2. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
10. P(0, -2, 1), Π₁: 0x+1y+1z-2=0, Π₂: 0x+1y-1z-4=0. Ученик выбрал Π₂, сравнив значения со знаками -3 и -7. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
11. P(2, 2, 2), Π₁: 1x+0y+1z-3=0, Π₂: 1x+0y-1z-1=0. Ученик выбрал Π₂, сравнив значения со знаками 1 и -1. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
12. P(-1, 3, 0), Π₁: 1x-1y+0z-1=0, Π₂: 1x+1y+0z-2=0. Ученик выбрал Π₁, сравнив значения со знаками -5 и 0. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
13. P(3, 0, -2), Π₁: 2x-1y+0z-1=0, Π₂: 1x+2y+0z-3=0. Ученик выбрал Π₂, сравнив значения со знаками 5 и 0. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
14. P(0, 4, 0), Π₁: 0x+1y+1z-2=0, Π₂: 0x+1y-1z-4=0. Ученик выбрал Π₂, сравнив значения со знаками 2 и 0. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
15. P(-2, -1, 3), Π₁: 1x+0y+1z-3=0, Π₂: 1x+0y-1z-1=0. Ученик выбрал Π₂, сравнив значения со знаками -2 и -6. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.
16. P(1, 1, 1), Π₁: 1x-1y+0z-1=0, Π₂: 1x+1y+0z-2=0. Ученик выбрал Π₁, сравнив значения со знаками -1 и 0. Подтвердите либо опровергните вывод расчётом.

Уровень III: несколько шагов и обратная проверка

17. Для Π₁: 1x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+1y+0z-2=0 точка P(1, 1, 0) сместилась на вектор (1, -1, 0). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
18. Для Π₁: 2x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+2y+0z-3=0 точка P(-2, 3, 1) сместилась на вектор (0, 1, 1). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
19. Для Π₁: 0x+1y+1z-2=0 и Π₂: 0x+1y-1z-4=0 точка P(3, -2, 2) сместилась на вектор (1, -1, 0). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
20. Для Π₁: 1x+0y+1z-3=0 и Π₂: 1x+0y-1z-1=0 точка P(0, 0, 4) сместилась на вектор (0, 1, 1). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
21. Для Π₁: 1x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+1y+0z-2=0 точка P(4, -1, -2) сместилась на вектор (1, -1, 0). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
22. Для Π₁: 2x-1y+0z-1=0 и Π₂: 1x+2y+0z-3=0 точка P(-1, 2, 3) сместилась на вектор (0, 1, 1). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
23. Для Π₁: 0x+1y+1z-2=0 и Π₂: 0x+1y-1z-4=0 точка P(2, -3, 0) сместилась на вектор (1, -1, 0). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?
24. Для Π₁: 1x+0y+1z-3=0 и Π₂: 1x+0y-1z-1=0 точка P(0, 2, 3) сместилась на вектор (0, 1, 1). Получите P′, сравните расстояния от обеих точек до Π₁ и Π₂. Изменился ли ближайший объект?

Разбор полной цепочки вычислений

Шаг 1: подтвердить перпендикулярность. Для плоскостей x−y−1=0 и x+y−2=0 нормали n₁=(1;−1;0) и n₂=(1;1;0). Их скалярное произведение равно 1−1+0=0, поэтому плоскости перпендикулярны. Нормы обеих нормалей равны √2. Важно выполнить обе проверки: ортогональность и равенство длин — разные свойства.

Шаг 2: найти расстояния. Для точки P(1;2;0) первое выражение равно 1−2−1=−2, второе равно 1+2−2=1. Значит, расстояния равны 2/√2 и 1/√2, ближе Π₂. Неверно выбирать Π₁ лишь потому, что −2 меньше 1: расстояние имеет модуль.

Шаг 3: проверить перемещение. После сдвига на (1;−1;0) точка станет P′(2;1;0). Первое выражение теперь 2−1−1=0, второе 2+1−2=1. Следовательно, P′ находится на первой плоскости и удалена от второй на 1/√2. Можно выполнить обратную проверку: подстановка P′ в первое уравнение действительно даёт нуль.

Особый случай равенства расстояний. Для x−y−1=0 и x+y−2=0 точка O(0;0;0) даёт расстояния 1/√2 и 2/√2; они не равны, несмотря на то что точка расположена у начала координат. Равенство определяют из |x−y−1|=|x+y−2|. После раскрытия модулей возникают два линейных условия: x−y−1=x+y−2 или x−y−1=−x−y+2. Это две плоскости, являющиеся геометрическими биссекторами двугранных углов между исходными плоскостями.

Как контролировать уровень III. Перед подстановкой в уравнения определите новую точку, сложив координаты P и вектора сдвига. Не заменяйте лишь одну координату, если у вектора две ненулевые компоненты. Далее сначала вычислите оба числителя для исходной точки, затем оба для новой; сравнение допустимо лишь внутри каждой пары на одинаковом знаменателе. Если общий знаменатель √5, результаты 2/√5 и 4/√5 можно упорядочить без десятичных приближений.

Критерий правильного объяснения. В ответе названы обе плоскости, показаны их нормали, проверено n₁·n₂=0, а все расстояния неотрицательны. Нельзя говорить, что «перпендикулярные плоскости обязательно удалены на одинаковое расстояние»: свойство относится к их ориентации, не к произвольному положению точки.

Ключ к заданиям базового уровня

1. n₁·n₂=0; обе нормы √2. Числители 1 и 2, поэтому Π₁ ближе.
2. n₁·n₂=0; обе нормы √5. Числители 1 и 2, поэтому Π₁ ближе.
3. n₁·n₂=0; обе нормы √2. Числители 0 и 4, поэтому Π₁ ближе.
4. n₁·n₂=0; обе нормы √2. Числители 0 и 2, поэтому Π₁ ближе.
5. n₁·n₂=0; обе нормы √2. Числители 2 и 1, поэтому Π₂ ближе.
6. n₁·n₂=0; обе нормы √5. Числители 3 и 1, поэтому Π₂ ближе.
7. n₁·n₂=0; обе нормы √2. Числители 1 и 7, поэтому Π₁ ближе.
8. n₁·n₂=0; обе нормы √2. Числители 0 и 4, поэтому Π₁ ближе.

Почему знак — не расстояние

9. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 1/√5 и 2/√5. Π₁ ближе. Вывод ученика неверен.
10. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 3/√2 и 7/√2. Π₁ ближе. Вывод ученика неверен.
11. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 1/√2 и 1/√2. расстояния равны. Вывод ученика неверен.
12. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 5/√2 и 0/√2. Π₂ ближе. Вывод ученика неверен.
13. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 5/√5 и 0/√5. Π₂ ближе. Вывод ученика совпадает случайно.
14. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 2/√2 и 0/√2. Π₂ ближе. Вывод ученика совпадает случайно.
15. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 2/√2 и 6/√2. Π₁ ближе. Вывод ученика неверен.
16. Нельзя сравнивать числа со знаком: расстояния 1/√2 и 0/√2. Π₂ ближе. Вывод ученика неверен.

Полные решения многосоставных случаев

17. P′=(2, 0, 0). Для P числители (1,0), для P′ — (1,0), общий знаменатель √2. Ранее Π₂ ближе, после переноса Π₂ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
18. P′=(-2, 4, 2). Для P числители (8,1), для P′ — (9,3), общий знаменатель √5. Ранее Π₂ ближе, после переноса Π₂ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
19. P′=(4, -3, 2). Для P числители (2,8), для P′ — (3,9), общий знаменатель √2. Ранее Π₁ ближе, после переноса Π₁ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
20. P′=(0, 1, 5). Для P числители (1,5), для P′ — (2,6), общий знаменатель √2. Ранее Π₁ ближе, после переноса Π₁ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
21. P′=(5, -2, -2). Для P числители (4,1), для P′ — (6,1), общий знаменатель √2. Ранее Π₂ ближе, после переноса Π₂ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
22. P′=(-1, 3, 4). Для P числители (5,0), для P′ — (6,2), общий знаменатель √5. Ранее Π₂ ближе, после переноса Π₂ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
23. P′=(3, -4, 0). Для P числители (5,7), для P′ — (6,8), общий знаменатель √2. Ранее Π₁ ближе, после переноса Π₁ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.
24. P′=(0, 3, 4). Для P числители (0,4), для P′ — (1,5), общий знаменатель √2. Ранее Π₁ ближе, после переноса Π₁ ближе. Скалярное произведение нормалей равно 0, значит плоскости действительно перпендикулярны.

Контроль: пересечение взаимно перпендикулярных плоскостей — прямая, и на ней оба расстояния равны нулю. При нулевом нормальном векторе уравнение не задаёт плоскость и применять формулу нельзя.