Сравнение расстояний точек по пересечению с координатными осями — задания с разбором, 11 класс

Практическая задача. Представим плоскую перегородку помещения, пересекающую оси координат в A(a;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c), где a, b, c отличны от нуля. По трём точкам восстанавливается плоскость, а затем сравнивается удалённость двух датчиков от неё.

Исходные измерения и модель

Если a=2 м, b=3 м, c=6 м, уравнение перегородки x/2 + y/3 + z/6 = 1, или 3x+2y+z−6=0. От P(0;0;0) расстояние 6/√14 м, от Q(1;1;1) — 0 м, поскольку Q лежит на перегородке. Сравниваем реальные расстояния, а не высоты датчиков.

Для каждой строки все координаты даны в метрах. Удобно сначала умножить уравнение на НОК(a,b,c), получив целые коэффициенты: это не изменит расстояния.

Таблица практических измерений

Серия связанных заданий

1. Для строки 1 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
2. Для строки 2 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
3. Для строки 3 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
4. Для строки 4 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
5. Для строки 5 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
6. Для строки 6 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
7. Для строки 7 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
8. Для строки 8 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
9. Для строки 9 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
10. Для строки 10 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
11. Для строки 11 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.
12. Для строки 12 составьте уравнение плоскости по трём пересечениям с осями, затем сравните расстояния от P и Q. Объясните, почему знаменатель у расстояний одинаков.

Проверка разумности и ограничения модели

Равенство нулю числителя означает, что датчик на перегородке. Большое отрицательное значение линейной формы может соответствовать большому, а не малому расстоянию. Если дано только два пересечения с осями, положение пространственной плоскости в общем случае не определяется однозначно.

Математическая модель: что именно измеряют

Пересечения плоскости с осями имеют смысл только при ненулевых a, b, c: иначе выражения x/a, y/b, z/c не определены. В условиях таблицы все три числа положительные, но метод работает и с отрицательными отрезками при правильной подстановке знаков. После перевода уравнения в целые коэффициенты оставляйте все четыре члена — свободный член терять нельзя.

В задачах о датчиках важна именно кратчайшая длина перпендикуляра от точки к перегородке. Расстояние по оси Ox или вертикальный перепад по Oz обычно не совпадает с ним. Если датчики Q и P окажутся по разные стороны перегородки, не нужно складывать расстояния, чтобы определить, кто ближе: сравниваются их отдельные модули, поделённые на одну норму.

Полезная проверка уравнения: каждая из трёх заданных точек A, B, C должна обращаться в нуль при подстановке. Например, для 3x+2y+z−6=0 точки (2;0;0), (0;3;0) и (0;0;6) дают соответственно 6−6, 6−6 и 6−6. Если хотя бы одна проверка не прошла, расстояния, рассчитанные по неправильной плоскости, тоже будут неверными.

Ответы с восстановлением уравнений

1. НОК=6. Плоскость 3x+2y+1z−6=0; норма √14. Получаем d(P)=6/√14 м и d(Q)=0/√14 м; Q ближе.
2. НОК=12. Плоскость 4x+3y+2z−12=0; норма √29. Получаем d(P)=7/√29 м и d(Q)=4/√29 м; Q ближе.
3. НОК=12. Плоскость 3x+2y+1z−12=0; норма √14. Получаем d(P)=8/√14 м и d(Q)=6/√14 м; Q ближе.
4. НОК=8. Плоскость 4x+2y+1z−8=0; норма √21. Получаем d(P)=2/√21 м и d(Q)=8/√21 м; P ближе.
5. НОК=18. Плоскость 6x+3y+2z−18=0; норма √49. Получаем d(P)=14/√49 м и d(Q)=9/√49 м; Q ближе.
6. НОК=10. Плоскость 2x+2y+1z−10=0; норма √9. Получаем d(P)=6/√9 м и d(Q)=4/√9 м; Q ближе.
7. НОК=4. Плоскость 1x+1y+1z−4=0; норма √3. Получаем d(P)=1/√3 м и d(Q)=1/√3 м; расстояния равны.
8. НОК=12. Плоскость 6x+4y+3z−12=0; норма √61. Получаем d(P)=12/√61 м и d(Q)=7/√61 м; Q ближе.
9. НОК=6. Плоскость 1x+2y+3z−6=0; норма √14. Получаем d(P)=4/√14 м и d(Q)=2/√14 м; Q ближе.
10. НОК=6. Плоскость 2x+2y+1z−6=0; норма √9. Получаем d(P)=4/√9 м и d(Q)=5/√9 м; P ближе.
11. НОК=8. Плоскость 2x+1y+1z−8=0; норма √6. Получаем d(P)=4/√6 м и d(Q)=3/√6 м; Q ближе.
12. НОК=10. Плоскость 2x+1y+1z−10=0; норма √6. Получаем d(P)=4/√6 м и d(Q)=8/√6 м; P ближе.

Нельзя путать данную задачу с определением прямой по двум пересечениям с осями: для плоскости здесь требуются три неколлинеарные точки. Все вычисления выполнены в метрах; если координаты переведены в сантиметры, числовые расстояния тоже выражаются в сантиметрах.