Определение вероятности по таблице для дискретной случайной величины — карточки с ответами, 11 класс

Два контрастных варианта. Дискретная случайная величина задана таблицей пар «значение — вероятность». Вероятности неотрицательны, а сумма по всем значениям равна 1. Вероятность события — сумма вероятностей только тех строк, которые входят в событие.

Вариант А — чтение готового распределения

Для варианта А используется сложение вероятностей без перестановок. Если событие состоит из нескольких несовместных значений X, их вероятности складываются, а не перемножаются.

Таблица 1

Таблица 2

1. По таблице 1. Найдите P(X = 0).
2. По таблице 1. Найдите P(X ≥ 2).
3. По таблице 1. Найдите P(X < 2).
4. По таблице 1. Определите P(X ≠ 1).
5. По таблице 2. Найдите P(X = 1).
6. По таблице 2. Найдите P(X ≥ 3).
7. По таблице 2. Найдите P(X < 3).
8. По таблице 2. Определите P(X ≠ 2).

Вариант Б — отрицательные значения и равные по вероятности исходы

Таблица 3

Таблица 4

9. По таблице 3. Найдите P(X = -2).
10. По таблице 3. Найдите P(X ≥ 0).
11. По таблице 3. Найдите P(X < 0).
12. По таблице 3. Определите P(X ≠ -1).
13. По таблице 4. Найдите P(X = 2).
14. По таблице 4. Найдите P(X ≥ 6).
15. По таблице 4. Найдите P(X < 6).
16. По таблице 4. Определите P(X ≠ 4).

Что нужно объяснить при проверке

Перед вычислением вероятности полезно выписать событие словами, затем перечислить значения X, которые ему соответствуют. Например, по таблице 1 условие X ≥ 2 включает только значения 2 и 3. Поэтому P(X ≥ 2)=3/10+4/10=7/10. Столбцы 0 и 1 не входят в событие, и их вероятности добавлять нельзя.

Для дополнения события часто удобнее использовать единицу: P(X ≠ 2)=1−P(X=2). Это равносильно суммированию всех остальных столбцов. Обе процедуры должны дать одинаковый ответ, что позволяет проверить вычисление.

Если в таблице есть отрицательные значения X, это не означает отрицательных вероятностей. Например, при X=−2 в таблице 3 вероятность равна 1/5, что является допустимым числом между 0 и 1. Отрицательным может быть значение величины, но не вероятность события.

В варианте Б строки таблицы 4 симметричны по вероятностям: 1/6, 1/3, 1/3, 1/6. Однако симметрия не даёт права заменить условие «X ≥ 6» условием «X ≥ 4». Первое событие включает столбцы 6 и 8, второе — 4, 6 и 8; ответы будут различаться на вероятность X=4.

Проверяя ключ одноклассника, задайте три вопроса: верно ли выделены столбцы события; все ли дроби приведены к общему знаменателю; не вышла ли итоговая вероятность за пределы от 0 до 1. Если событие невозможно, ответ 0; если охватывает все возможные значения, ответ 1.

Ключ к варианту А

1. 1/10 (берём одну строку).
2. 7/10 = 3/10 + 2/5.
3. 3/10 = 1/10 + 1/5.
4. 4/5 = 1 − 1/5.
5. 1/8 (берём одну строку).
6. 1/2 = 1/4 + 1/4.
7. 1/2 = 1/8 + 3/8.
8. 5/8 = 1 − 3/8.

Ключ к варианту Б

9. 1/5 (берём одну строку).
10. 1/2 = 1/10 + 2/5.
11. 1/2 = 1/5 + 3/10.
12. 7/10 = 1 − 3/10.
13. 1/6 (берём одну строку).
14. 1/2 = 1/3 + 1/6.
15. 1/2 = 1/6 + 1/3.
16. 2/3 = 1 − 1/3.

Взаимная проверка: в таблице 3 значения X бывают отрицательными, но вероятности по-прежнему неотрицательны. В таблице 4 средние два значения имеют одинаковые вероятности, однако разные значения X нельзя сливать в одну строку, если вопрос касается одного из них.

Проверка распределения: суммы вероятностей по таблицам 1–4 равны соответственно 10/10, 8/8, 10/10 и 6/6. Ошибка «сложить все исходы без условия события» даёт 1 даже для событий, которые наступают не всегда. Перед подсчётом отмечайте нужные столбцы.