Асимптоты простой дробно-линейной функции: самостоятельная работа по математике, 10 класс

Памятка: два разных предельных направления

Дробно-линейная функция вида f(x)=(ax+b)/(cx+d), где c≠0, определена при cx+d≠0. Для обычного случая ad−bc≠0 график приближается к вертикальной прямой x=−d/c возле запрещённой абсциссы и к горизонтальной прямой y=a/c при |x|→∞. Важен не просто запрещённый x, а поведение дроби около него: если числитель и знаменатель одновременно обнуляются, точка может оказаться выколотой, без вертикальной асимптоты.

Постройте мысленно две опорные линии: вертикальную x=const и горизонтальную y=const. Пересечение этих асимптот — центр гиперболы, но оно не является точкой графика. Точные вычисления отличаются от приблизительного чтения по клеткам.

Три образца решения

1. Пример A. f(x)=(2x+3)/(x−4). Знаменатель равен нулю при x=4, а числитель равен 11. Следовательно, x=4 — вертикальная, y=2 — горизонтальная асимптоты; x=4 запрещён.
2. Пример Б. f(x)=(3x+5)/(2x−1). Получаем x=1/2, затем y=3/2. Числитель при x=1/2 равен 13/2 ≠0: обе линии действительно асимптоты.
3. Пример В — ловушка. f(x)=(2x+10)/(x+5)=2 при x≠−5. В точке x=−5 получилась неопределённость 0/0. Линия x=−5 не является вертикальной асимптотой: возле неё f(x) стремится к конечному 2. На графике прямой y=2 выколота одна точка.

Серия I. Непосредственное чтение коэффициентов — 7 упражнений

1. Для f(x)=(2x + 3)/(x − 4) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
2. Для f(x)=(x − 7)/(x + 2) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
3. Для f(x)=(3x + 5)/(2x − 1) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
4. Для f(x)=(-2x + 4)/(x + 3) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
5. Для f(x)=(4x − 1)/(-2x + 5) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
6. Для f(x)=(x)/(3x + 9) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
7. Для f(x)=(5x + 1)/(x − 1) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.

Серия II. Отрицательные коэффициенты и дробные границы — 7 упражнений

8. Для f(x)=(7x − 2)/(2x + 3) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
9. Для f(x)=(−x − 6)/(3x + 2) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
10. Для f(x)=(3x)/(x − 6) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
11. Для f(x)=(2x − 5)/(x + 4) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
12. Для f(x)=(x + 1)/(−x + 3) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
13. Для f(x)=(3x − 8)/(4x + 1) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
14. Для f(x)=(6x)/(3x − 9) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.

Серия III. Пограничные случаи и доказательство — 7 упражнений

15. Для f(x)=(-3x + 9)/(x − 2) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
16. Для f(x)=(2x + 10)/(x + 5) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
17. Для f(x)=(x − 4)/(x − 4) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
18. Для f(x)=(2x + 1)/(−x + 7) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
19. Для f(x)=(4x + 3)/(2x + 5) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
20. Для f(x)=(−x + 2)/(2x − 3) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.
21. Для f(x)=(5x − 9)/(x + 2) найдите исключённое x, вертикальную и горизонтальную асимптоты; обоснуйте ответ.

Полный ключ: границы области определения и асимптоты

1. Знаменатель равен нулю при x=4; числитель там не равен нулю (ad−bc=-11 ≠ 0), значит вертикальная x=4. Горизонтальная y=2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠4.
2. Знаменатель равен нулю при x=-2; числитель там не равен нулю (ad−bc=9 ≠ 0), значит вертикальная x=-2. Горизонтальная y=1 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-2.
3. Знаменатель равен нулю при x=1/2; числитель там не равен нулю (ad−bc=-13 ≠ 0), значит вертикальная x=1/2. Горизонтальная y=3/2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠1/2.
4. Знаменатель равен нулю при x=-3; числитель там не равен нулю (ad−bc=-10 ≠ 0), значит вертикальная x=-3. Горизонтальная y=-2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-3.
5. Знаменатель равен нулю при x=5/2; числитель там не равен нулю (ad−bc=18 ≠ 0), значит вертикальная x=5/2. Горизонтальная y=-2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠5/2.
6. Знаменатель равен нулю при x=-3; числитель там не равен нулю (ad−bc=9 ≠ 0), значит вертикальная x=-3. Горизонтальная y=1/3 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-3.
7. Знаменатель равен нулю при x=1; числитель там не равен нулю (ad−bc=-6 ≠ 0), значит вертикальная x=1. Горизонтальная y=5 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠1.
8. Знаменатель равен нулю при x=-3/2; числитель там не равен нулю (ad−bc=25 ≠ 0), значит вертикальная x=-3/2. Горизонтальная y=7/2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-3/2.
9. Знаменатель равен нулю при x=-2/3; числитель там не равен нулю (ad−bc=16 ≠ 0), значит вертикальная x=-2/3. Горизонтальная y=-1/3 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-2/3.
10. Знаменатель равен нулю при x=6; числитель там не равен нулю (ad−bc=-18 ≠ 0), значит вертикальная x=6. Горизонтальная y=3 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠6.
11. Знаменатель равен нулю при x=-4; числитель там не равен нулю (ad−bc=13 ≠ 0), значит вертикальная x=-4. Горизонтальная y=2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-4.
12. Знаменатель равен нулю при x=3; числитель там не равен нулю (ad−bc=4 ≠ 0), значит вертикальная x=3. Горизонтальная y=-1 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠3.
13. Знаменатель равен нулю при x=-1/4; числитель там не равен нулю (ad−bc=35 ≠ 0), значит вертикальная x=-1/4. Горизонтальная y=3/4 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-1/4.
14. Знаменатель равен нулю при x=3; числитель там не равен нулю (ad−bc=-54 ≠ 0), значит вертикальная x=3. Горизонтальная y=2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠3.
15. Знаменатель равен нулю при x=2; числитель там не равен нулю (ad−bc=-3 ≠ 0), значит вертикальная x=2. Горизонтальная y=-3 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠2.
16. При x=-5 получается 0/0; дробь сокращается до постоянной 2 при x≠-5. Это выколотая точка (-5;2), а не вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота y=2; область x≠-5.
17. При x=4 получается 0/0; дробь сокращается до постоянной 1 при x≠4. Это выколотая точка (4;1), а не вертикальная асимптота. Горизонтальная асимптота y=1; область x≠4.
18. Знаменатель равен нулю при x=7; числитель там не равен нулю (ad−bc=15 ≠ 0), значит вертикальная x=7. Горизонтальная y=-2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠7.
19. Знаменатель равен нулю при x=-5/2; числитель там не равен нулю (ad−bc=14 ≠ 0), значит вертикальная x=-5/2. Горизонтальная y=2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-5/2.
20. Знаменатель равен нулю при x=3/2; числитель там не равен нулю (ad−bc=-1 ≠ 0), значит вертикальная x=3/2. Горизонтальная y=-1/2 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠3/2.
21. Знаменатель равен нулю при x=-2; числитель там не равен нулю (ad−bc=19 ≠ 0), значит вертикальная x=-2. Горизонтальная y=5 — отношение коэффициентов при x. Область: x≠-2.

Как проверить расчёт, не рисуя гиперболу

• Выпишите исключённую абсциссу из уравнения cx+d=0. При проверке вертикальной асимптоты вычислите числитель в этой же точке.
• Поделите коэффициенты при старшей степени x: a/c. Убедитесь, что c≠0 и действительно рассматривается дробно-линейная функция.
• При равенстве ad−bc=0 сокращённое выражение имеет выколотую точку. Вычёркивать это исключение из ОДЗ нельзя, даже если сокращённая запись его не показывает.
• Точные ответы вида −3/2, 7/2 и 3/4 лучше оставить дробями: десятичное округление не улучшает построение асимптот.

Итог: вертикальная асимптота — не синоним нуля знаменателя. Для исходного вида (ax+b)/(cx+d) правильное заключение требует проверить числитель в запрещённой точке. В случае сокращения оба ограничения сохраняются: значение в исходной точке остаётся неопределённым, хотя график вблизи неё стремится к конечному пределу.