Биссектриса при вершине равнобедренного треугольника: пошаговые задания для 7 класса

Рабочий лист для построения чертежа и строгого вывода. Во всех задачах ABC — равнобедренный треугольник, AB = AC; AD — биссектриса угла A при вершине, D ∈ BC. Каждую работу выполняйте с собственным рисунком; отмечайте равные углы дугами.

Три шага доказательства

1. Запишите исходные равенства: AB = AC и ∠BAD = ∠DAC; отрезок AD общий.
2. Докажите, что △BAD = △CAD по двум сторонам и углу между ними (AB = AC, AD = AD, ∠BAD = ∠DAC).
3. Из равенства треугольников получите BD = DC и ∠BDA = ∠ADC. Эти углы смежные, поэтому каждый равен 90°. Значит, биссектриса при вершине одновременно медиана и высота.

Печать: оставьте между задачами место для чертежа и двух-трёх строк доказательства; ключ учителя находится после обоих вариантов.

Вариант I — тренировка вычисления и доказательства

1. ∠BAC = 78°. Найдите ∠BAD и ∠DAC. Место для решения: ____________________
2. ∠BAD = 31°. Чему равен весь угол A? Место для решения: ____________________
3. BC = 34 см. Найдите BD. Место для решения: ____________________
4. BD = 12 мм. Найдите BC. Место для решения: ____________________
5. ∠ABC = 57°. Найдите угол ADC. Место для решения: ____________________
6. AB = AC, BC = 18 см, BD = 2x + 3 см. Найдите x. Место для решения: ____________________
7. ∠BDA = 90°. Достаточно ли одного этого факта, чтобы доказать, что ABC равнобедренный? Объясните. Место для решения: ____________________
8. Ученик написал «△BAD = △CAD, потому что ∠BAD = ∠DAC». Какое условие он упустил? Место для решения: ____________________

Вариант II — перенос способа в новую ситуацию

1. ∠BAC = 106°. Найдите каждый угол, образованный биссектрисой. Место для решения: ____________________
2. ∠DAC = 19°. Найдите ∠ABC. Место для решения: ____________________
3. BC = 4,8 дм. Найдите BD в сантиметрах. Место для решения: ____________________
4. DC = 15 см. Найдите BC в миллиметрах. Место для решения: ____________________
5. На основании BD = 4x − 2 и DC = 2x + 8 (сантиметры). Найдите x. Место для решения: ____________________
6. В одном рисунке ∠BDA = 86°. Совместим ли рисунок с указанными условиями? Почему? Место для решения: ____________________
7. Верно ли, что биссектриса угла B равнобедренного ABC обязательно проходит через середину AC? Место для решения: ____________________
8. Укажите признак равенства △BAD и △CAD, а затем назовите все три роли отрезка AD. Место для решения: ____________________

Ключ учителя — вариант I

1. 39° и 39°: биссектриса делит 78° поровну.
2. 62°: 2 · 31°.
3. 17 см: биссектриса является медианой.
4. 24 мм: половина основания — 12 мм.
5. 90°: AD — высота; значение угла при B не влияет на этот вывод.
6. BD = 9 см; 2x + 3 = 9, x = 3.
7. Нет. Перпендикуляр AD к BC можно провести и из вершины неравнобедренного треугольника. Нужна дополнительная симметрия — например, BD = DC.
8. Одного равенства углов недостаточно; необходимо указать AB = AC и общую сторону AD (признак SAS).

Ключ учителя — вариант II

1. 53° и 53°.
2. ∠A = 38°, ∠ABC = (180° − 38°)/2 = 71°.
3. 4,8 дм = 48 см, BD = 24 см.
4. BC = 30 см = 300 мм.
5. 4x − 2 = 2x + 8, откуда x = 5; BD = DC = 18 см.
6. Нет: углы BDA и ADC должны быть прямыми (по 90°).
7. Нет. Особый отрезок проходит из вершины A к основанию BC, не из B к боковой стороне AC.
8. По двум сторонам и углу между ними: AB = AC, AD общая, углы BAD и DAC равны. AD — биссектриса, медиана и высота.

Критерии оценки

За задания 1–6 каждого варианта: по 1 баллу за корректное обоснование и вычисление; задания 7–8: по 2 балла за ответ и доказательство или контрпример. Всего 10 баллов за вариант. 9–10 — высокий уровень, 7–8 — уверенное владение, 5–6 — нужна повторная работа с признаками равенства, 0–4 — вернитесь к рисунку и исходным условиям.

Не ставьте балл за правильное число без объяснения, если задача требует доказать свойство: это отдельное проверяемое умение.

Почему нельзя заменять доказательство рисунком

При доказательстве сначала устанавливается равенство треугольников, а только потом — свойства соответствующих частей. Нельзя утверждать «точка D середина BC, потому что она посередине на чертеже»: середина следует из равенства BD и DC, которое требуется доказать. При этом биссектриса уже дана по условию; не надо доказывать её существование или искусственно вводить новые условия.

Если на рисунке сторона AB наклонена иначе, чем AC, это не опровергает AB = AC: чертёж мог быть неточным. Отмерять визуально значения углов при A тоже нельзя. Опирайтесь только на надписи AB = AC, ∠BAD = ∠DAC и AD = AD. Совпадение двух сторон и заключённого между ними угла обеспечивает признак SAS, а не сходство контуров.

Для самопроверки после любого числового решения полезно восстановить исходный угол или основание: если рассчитаны две половины угла по 53°, их сумма должна быть 106°; если найдена половина основания 18 см, целое основание равно 36 см. Такой обратный контроль помогает заметить ошибку деления на два без внешней проверки.