Частота события в серии наблюдений — упражнения для печати, 9 класс

Практикум частот • 9 класс • 30 заданий. Для печати можно разделить задания на четыре самостоятельных блока: наблюдатель, исследователь таблиц, редактор пропусков и аналитик. Работа не требует компьютерных симуляций. Все данные придуманы специально для тренировки и не являются настоящей статистикой о погоде, транспорте или школьниках.

Быстрый старт: абсолютная и относительная частота

Если в 20 опытах событие произошло 7 раз, его абсолютная частота равна 7, а относительная частота — 7/20 = 0,35 = 35%. Во всех заданиях указывайте, какую именно величину нашли. Относительная частота отличается от теоретической вероятности: первая получается из наблюдений, вторая рассчитывается из модели случайного опыта.

В записи f = k/n буквой k обозначено количество наступлений события, а n — число наблюдений. Обязательно 0 ≤ k ≤ n; если в таблице написано, что событие наступило 35 раз за 30 наблюдений, данные ошибочны. Для сравнения двух серий с разным количеством испытаний следует сравнивать относительные, а не абсолютные частоты.

Лаборатория I — измерь относительную частоту

В каждом из заданий 1–8 найдите абсолютную и относительную частоту указанного события. Ответ запишите как дробь и как процент. Проверка процента: он не может превышать 100%. Для этого блока все исходные количества наблюдений даны без пропусков.

1. В 20 наблюдениях событие «проезд автобуса без задержки» произошло 7 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
2. В 25 наблюдениях событие «появление облаков к полудню» произошло 12 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
3. В 40 наблюдениях событие «попадание в мишень» произошло 15 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
4. В 50 наблюдениях событие «ответ «да» в опросе» произошло 29 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
5. В 80 наблюдениях событие «проросшее семя» произошло 24 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
6. В 100 наблюдениях событие «правильная классификация картинки» произошло 47 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
7. В 60 наблюдениях событие «проезд по короткому маршруту» произошло 21 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.
8. В 30 наблюдениях событие «выбор синего жетона» произошло 9 раз. Определите абсолютную частоту и относительную частоту в процентах.

Лаборатория II — сколько раз событие произошло?

В задачах 9–16 известно число наблюдений и относительная частота, но скрыто количество наступлений. Используйте уравнение k = n · f. Полученное k обязано быть целым неотрицательным числом: нельзя наблюдать 7,5 отдельного попадания. Все предложенные данные дают целое значение.

9. За 20 испытаний относительная частота события «попадание в цель» равна 3/10. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
10. За 40 испытаний относительная частота события «срабатывание датчика» равна 1/4. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
11. За 50 испытаний относительная частота события «правильный ответ» равна 2/5. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
12. За 80 испытаний относительная частота события «выбор автобуса» равна 3/8. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
13. За 60 испытаний относительная частота события «солнечная погода» равна 7/20. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
14. За 100 испытаний относительная частота события «появление события A» равна 13/25. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
15. За 120 испытаний относительная частота события «победа в раунде» равна 1/6. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.
16. За 25 испытаний относительная частота события «получение метки» равна 4/5. Сколько раз событие наступило? Заполните пропуск k = ____.

Лаборатория III — найди размер серии

В заданиях 17–24 указано, сколько раз событие произошло, и его относительная частота. Восстановите общее число наблюдений: n = k/f. Проверьте полученное n обратным делением k/n; убедитесь, что оно не меньше k. Если f = 0, такую операцию выполнять нельзя, но в этих карточках нулевых частот нет.

17. «попадание» наблюдали 7 раз; относительная частота равна 7/20. Найдите общее число испытаний n = ____.
18. «успешная попытка» наблюдали 12 раз; относительная частота равна 3/10. Найдите общее число испытаний n = ____.
19. «наблюдение птицы» наблюдали 9 раз; относительная частота равна 3/20. Найдите общее число испытаний n = ____.
20. «правильный ответ» наблюдали 16 раз; относительная частота равна 2/5. Найдите общее число испытаний n = ____.
21. «выбор варианта B» наблюдали 18 раз; относительная частота равна 3/10. Найдите общее число испытаний n = ____.
22. «выбор зелёного цвета» наблюдали 25 раз; относительная частота равна 1/4. Найдите общее число испытаний n = ____.
23. «появление события M» наблюдали 21 раз; относительная частота равна 7/15. Найдите общее число испытаний n = ____.
24. «доставка вовремя» наблюдали 24 раз; относительная частота равна 2/3. Найдите общее число испытаний n = ____.

Практический кейс — что чаще?

Для заданий 25–30 сравните две серии наблюдений. Нельзя сравнивать только k, если число испытаний в двух сериях не одинаково. Вычислите относительную частоту в первой и второй серии; затем напишите: «в первой больше», «во второй больше» или «равны». Разность можно описать в процентных пунктах.

25. две группы учащихся: серия А — 12 наступлений в 30 наблюдениях; серия Б — 16 наступлений в 40. Сравните относительные частоты.
26. две серии бросков: серия А — 7 наступлений в 20 наблюдениях; серия Б — 15 наступлений в 50. Сравните относительные частоты.
27. наблюдения за погодой: серия А — 8 наступлений в 25 наблюдениях; серия Б — 16 наступлений в 40. Сравните относительные частоты.
28. два тренировочных потока: серия А — 21 наступлений в 60 наблюдениях; серия Б — 9 наступлений в 20. Сравните относительные частоты.
29. опросы двух классов: серия А — 36 наступлений в 80 наблюдениях; серия Б — 20 наступлений в 50. Сравните относительные частоты.
30. два контрольных дня: серия А — 48 наступлений в 100 наблюдениях; серия Б — 12 наступлений в 25. Сравните относительные частоты.

Ключ к лабораториям: 30 ответов с проверками

Номера 1–8 — частота по наблюдениям; 9–16 — восстановление числа наступлений; 17–24 — восстановление числа наблюдений; 25–30 — сравнение относительных частот. Если ответ представлен эквивалентной обыкновенной или десятичной дробью, он считается математически верным.

1. Абсолютная частота 7; относительная 7/20 = 35%. Проверка: 7 ≤ 20.
2. Абсолютная частота 12; относительная 12/25 = 48%. Проверка: 12 ≤ 25.
3. Абсолютная частота 15; относительная 3/8 = 37.5%. Проверка: 15 ≤ 40.
4. Абсолютная частота 29; относительная 29/50 = 58%. Проверка: 29 ≤ 50.
5. Абсолютная частота 24; относительная 3/10 = 30%. Проверка: 24 ≤ 80.
6. Абсолютная частота 47; относительная 47/100 = 47%. Проверка: 47 ≤ 100.
7. Абсолютная частота 21; относительная 7/20 = 35%. Проверка: 21 ≤ 60.
8. Абсолютная частота 9; относительная 3/10 = 30%. Проверка: 9 ≤ 30.
9. k = 20 · 3/10 = 6. Обратная проверка: 6/20 = 3/10.
10. k = 40 · 1/4 = 10. Обратная проверка: 10/40 = 1/4.
11. k = 50 · 2/5 = 20. Обратная проверка: 20/50 = 2/5.
12. k = 80 · 3/8 = 30. Обратная проверка: 30/80 = 3/8.
13. k = 60 · 7/20 = 21. Обратная проверка: 21/60 = 7/20.
14. k = 100 · 13/25 = 52. Обратная проверка: 52/100 = 13/25.
15. k = 120 · 1/6 = 20. Обратная проверка: 20/120 = 1/6.
16. k = 25 · 4/5 = 20. Обратная проверка: 20/25 = 4/5.
17. n = 7 ÷ 7/20 = 20. Обратно: 7/20 = 7/20.
18. n = 12 ÷ 3/10 = 40. Обратно: 12/40 = 3/10.
19. n = 9 ÷ 3/20 = 60. Обратно: 9/60 = 3/20.
20. n = 16 ÷ 2/5 = 40. Обратно: 16/40 = 2/5.
21. n = 18 ÷ 3/10 = 60. Обратно: 18/60 = 3/10.
22. n = 25 ÷ 1/4 = 100. Обратно: 25/100 = 1/4.
23. n = 21 ÷ 7/15 = 45. Обратно: 21/45 = 7/15.
24. n = 24 ÷ 2/3 = 36. Обратно: 24/36 = 2/3.
25. А: 12/30 = 2/5 = 40%; Б: 16/40 = 2/5 = 40%; частоты одинаковы.
26. А: 7/20 = 7/20 = 35%; Б: 15/50 = 3/10 = 30%; частота первой выше.
27. А: 8/25 = 8/25 = 32%; Б: 16/40 = 2/5 = 40%; частота второй выше.
28. А: 21/60 = 7/20 = 35%; Б: 9/20 = 9/20 = 45%; частота второй выше.
29. А: 36/80 = 9/20 = 45%; Б: 20/50 = 2/5 = 40%; частота первой выше.
30. А: 48/100 = 12/25 = 48%; Б: 12/25 = 12/25 = 48%; частоты одинаковы.

Выводы и контроль качества данных

Наблюдая событие 100 раз, можно получить относительную частоту, отличную от его теоретической вероятности. Например, если честную монету подбросить 20 раз, орёл не обязан выпасть точно десять раз. Относительная частота — измеренный итог конкретной серии, и утверждать о «правильном» числе орлов заранее нельзя.

Условие «40% успехов из 20 попыток» согласуется с 8 успехами, а «35% успехов из 15 попыток» при точном значении невозможно: это потребовало бы дробного количества успешных попыток. Если процент округлён, надо это явно оговорить. В наших задачах числовые данные подобраны так, чтобы не возникало скрытой проблемы округления.

Для самопроверки возьмите любое задание блока II и поменяйте местами неизвестную и известную величины: вычисленная абсолютная частота должна восстановить первоначальную относительную. Для блока IV проверьте сначала обыкновенную дробь, а затем проценты. Не делайте вывода о закономерности или причинно-следственной связи только по двум маленьким рядам наблюдений.

Учителю: диагностируйте три отдельные ошибки — неверный знаменатель, смешение абсолютной и относительной частоты, неправильный вывод при разных объёмах серий. Отмечайте не только конечную цифру, но и корректную математическую модель k/n.