Чередующиеся последовательности с двумя правилами — мини-тест с разбором для 9 класса

Как читать последовательность с двумя одновременно действующими правилами

Чередующаяся последовательность нередко состоит из двух независимых цепочек: члены с нечётными номерами образуют одну, с чётными — другую. В примере 2, 10, 5, 20, 8, 40, … нечётные члены равны 2, 5, 8, … (прибавляем 3), чётные равны 10, 20, 40, … (умножаем на 2). Следующие члены: 11 и 80. Нельзя требовать, чтобы разность между соседними членами всей строки была постоянной.

Алгоритм: разделите позиции 1, 3, 5, … и 2, 4, 6, …; найдите правило для каждой цепочки отдельно; продолжите обе; затем верните числа на свои места. В заданиях ниже специально сообщено, какая модель используется: это исключает случай, когда к нескольким исходным числам можно придумать разные продолжения.

Лаборатория I — обе цепочки арифметические (1–8)

1. Продолжите двумя числами: 2, 20, 4, 23, 6, 26, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
2. Продолжите двумя числами: 3, 23, 6, 27, 9, 31, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
3. Продолжите двумя числами: 4, 26, 8, 31, 12, 36, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
4. Продолжите двумя числами: 5, 29, 10, 32, 15, 35, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
5. Продолжите двумя числами: 6, 32, 8, 36, 10, 40, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
6. Продолжите двумя числами: 7, 35, 10, 40, 13, 45, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
7. Продолжите двумя числами: 8, 38, 12, 41, 16, 44, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.
8. Продолжите двумя числами: 9, 41, 14, 45, 19, 49, … . Нечётная и чётная цепочки — арифметические прогрессии.

Критерий проверки серии I: обе найденные разности должны повториться два раза на своих позициях. Если ученик получил правильное число, но не назвал разность хотя бы для одной цепочки, предложите ему дополнить объяснение.

Лаборатория II — два разных типа изменений (9–16)

9. Найдите 7-й и 8-й члены: 3, 2, 5, 4, 7, 8, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
10. Найдите 7-й и 8-й члены: 4, 3, 7, 9, 10, 27, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
11. Найдите 7-й и 8-й члены: 5, 4, 9, 8, 13, 16, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
12. Найдите 7-й и 8-й члены: 6, 5, 8, 15, 10, 45, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
13. Найдите 7-й и 8-й члены: 7, 2, 10, 4, 13, 8, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
14. Найдите 7-й и 8-й члены: 8, 3, 12, 9, 16, 27, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
15. Найдите 7-й и 8-й члены: 9, 4, 11, 8, 13, 16, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.
16. Найдите 7-й и 8-й члены: 10, 5, 13, 15, 16, 45, … . Нечётные члены идут с постоянной разностью, чётные — с постоянным положительным знаменателем геометрической прогрессии.

Лаборатория III — обратный порядок правил (17–24)

17. Заполните следующие две позиции: 2, 15, 4, 18, 8, 21, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
18. Заполните следующие две позиции: 3, 17, 9, 21, 27, 25, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
19. Заполните следующие две позиции: 4, 19, 8, 24, 16, 29, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
20. Заполните следующие две позиции: 2, 21, 6, 27, 18, 33, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
21. Заполните следующие две позиции: 3, 23, 6, 26, 12, 29, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
22. Заполните следующие две позиции: 4, 25, 12, 29, 36, 33, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
23. Заполните следующие две позиции: 2, 27, 4, 32, 8, 37, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.
24. Заполните следующие две позиции: 3, 29, 9, 35, 27, 41, … . Теперь нечётная цепочка геометрическая, чётная арифметическая.

Ответы и схема самопроверки

1. Нечётные: шаг +2, далее 8; чётные: шаг +3, далее 29.
2. Нечётные: шаг +3, далее 12; чётные: шаг +4, далее 35.
3. Нечётные: шаг +4, далее 16; чётные: шаг +5, далее 41.
4. Нечётные: шаг +5, далее 20; чётные: шаг +3, далее 38.
5. Нечётные: шаг +2, далее 12; чётные: шаг +4, далее 44.
6. Нечётные: шаг +3, далее 16; чётные: шаг +5, далее 50.
7. Нечётные: шаг +4, далее 20; чётные: шаг +3, далее 47.
8. Нечётные: шаг +5, далее 24; чётные: шаг +4, далее 53.

9. a₇ = 9, a₈ = 16; нечётная разность 2, чётный множитель 2.
10. a₇ = 13, a₈ = 81; нечётная разность 3, чётный множитель 3.
11. a₇ = 17, a₈ = 32; нечётная разность 4, чётный множитель 2.
12. a₇ = 12, a₈ = 135; нечётная разность 2, чётный множитель 3.
13. a₇ = 16, a₈ = 16; нечётная разность 3, чётный множитель 2.
14. a₇ = 20, a₈ = 81; нечётная разность 4, чётный множитель 3.
15. a₇ = 15, a₈ = 32; нечётная разность 2, чётный множитель 2.
16. a₇ = 19, a₈ = 135; нечётная разность 3, чётный множитель 3.

17. Седьмой член 16, восьмой 24; ×2 на нечётных позициях, +3 на чётных.
18. Седьмой член 81, восьмой 29; ×3 на нечётных позициях, +4 на чётных.
19. Седьмой член 32, восьмой 34; ×2 на нечётных позициях, +5 на чётных.
20. Седьмой член 54, восьмой 39; ×3 на нечётных позициях, +6 на чётных.
21. Седьмой член 24, восьмой 32; ×2 на нечётных позициях, +3 на чётных.
22. Седьмой член 108, восьмой 37; ×3 на нечётных позициях, +4 на чётных.
23. Седьмой член 16, восьмой 42; ×2 на нечётных позициях, +5 на чётных.
24. Седьмой член 81, восьмой 47; ×3 на нечётных позициях, +6 на чётных.

Почему первые шесть чисел достаточны для указанных правил? В каждой цепочке известны три члена: два промежутка для проверки одинаковой разности или одинакового отношения (если деление определено). В общем случае первые шесть чисел не задают единственное возможное продолжение без допущения о типе правила. Здесь в условии каждой серии это допущение указано явно.

Как проверить запись самостоятельно: выпишите столбиками 1–3–5–7 и 2–4–6–8. Уточните, меняется ли шаг или множитель, и только потом переписывайте ответ в общий ряд. Например, в задании 9 важно не умножать члены нечётной цепочки на тот же коэффициент, что у чётной. При выборе ответа полезнее обосновать оба правила, чем ориентироваться на внешнюю похожесть ряда.

Для учителя: 1–8 — базовое узнавание, 9–16 — смешанные правила, 17–24 — осознанное переключение. Оценивание: по 1 баллу за правильную пару следующих членов; ещё 1 балл можно дать за объяснение обоих правил, если работа проводится как исследовательская. При систематической ошибке сначала предложите ученику обвести позиции через одну. Дополнительный вариант: замените чётные цепочки на уменьшающиеся арифметические и попросите оценить, влияет ли направление изменения на сам алгоритм.