Деление числа в заданном отношении двух частей: задания с ответами для 6 класса

Разделить число в отношении 2 : 3 — не значит поделить его пополам и не значит взять 2 предмета и 3 предмета независимо от общего количества. Это означает выделить пять равных условных долей, из которых две принадлежат первой части, а три — второй. Если весь объём равен 60, одна доля 60 : 5 = 12, части равны 24 и 36. Всегда проверяйте одновременно сумму и отношение.

Наглядная модель: прямоугольник из долей

Схема. Отношение A : B = 2 : 3. Представьте пять клеток одинаковой площади: [А][А] | [Б][Б][Б]. При сумме 60 каждая клетка содержит 12 единиц. Тогда А = 2·12 = 24, Б = 3·12 = 36. Наглядность помогает увидеть, почему нельзя сначала делить 60 на 2 или 3 по отдельности.

Исследуем, что можно менять

Сумму 60 можно делить и в отношении 1 : 4: тогда пять долей по 12 дают 12 и 48. Можно оставить отношение 2 : 3, но увеличить сумму до 100: доля станет 20, части — 40 и 60. Иначе говоря, меняется единичная доля, но внутри фиксированного отношения сохраняются множители 2 и 3. Если в ответе перепутать порядок, сумма останется правильной, однако требуемое отношение станет обратным.

Серия I. Находим долю и две части

Решите задания 1–8. В тетради указывайте четыре строки: сумму коэффициентов, величину одной доли, две найденные части, контроль суммы. Единицы измерения берите из условия; число объектов не может получиться отрицательным.

1. 1. Всего 60 наклейки (распределили между двумя группами). Разделите это количество на две части в отношении 2 : 3. Сколько приходится на первую и вторую части?
2. 2. Всего 80 тетрадей (разложили по двум полкам). Разделите это количество на две части в отношении 3 : 5. Сколько приходится на первую и вторую части?
3. 3. Всего 66 карандашей (раздали двум командам). Разделите это количество на две части в отношении 4 : 7. Сколько приходится на первую и вторую части?
4. 4. Всего 88 жетонов (разделили между участниками). Разделите это количество на две части в отношении 5 : 6. Сколько приходится на первую и вторую части?
5. 5. Всего 75 кг (взяли два вида муки). Разделите это количество на две части в отношении 1 : 4. Сколько приходится на первую и вторую части?
6. 6. Всего 80 м (отрезали две части ленты). Разделите это количество на две части в отношении 7 : 9. Сколько приходится на первую и вторую части?
7. 7. Всего 99 л (смешали две порции сока). Разделите это количество на две части в отношении 3 : 8. Сколько приходится на первую и вторую части?
8. 8. Всего 98 марок (распределили в два альбома). Разделите это количество на две части в отношении 5 : 9. Сколько приходится на первую и вторую части?

Серия II. Переносим метод на реальные величины

Задания 9–16 включают длины, массу, объём и количество. Отношение в них безразмерное, но ответ обязательно сопровождается подходящей единицей. Проверяйте, что большая доля соответствует большему коэффициенту в отношении.

1. 9. Всего 117 яблок (разложили в две корзины). Разделите это количество на две части в отношении 2 : 7. Сколько приходится на первую и вторую части?
2. 10. Всего 52 книг (поставили на две полки). Разделите это количество на две части в отношении 4 : 9. Сколько приходится на первую и вторую части?
3. 11. Всего 143 мин (выделили на две части урока). Разделите это количество на две части в отношении 5 : 8. Сколько приходится на первую и вторую части?
4. 12. Всего 51 м (разделили рулон ткани). Разделите это количество на две части в отношении 6 : 11. Сколько приходится на первую и вторую части?
5. 13. Всего 119 штук (разложили детали на два поддона). Разделите это количество на две части в отношении 3 : 4. Сколько приходится на первую и вторую части?
6. 14. Всего 102 кг (распределили две партии корма). Разделите это количество на две части в отношении 8 : 9. Сколько приходится на первую и вторую части?
7. 15. Всего 85 л (разлили по двум ёмкостям). Разделите это количество на две части в отношении 7 : 10. Сколько приходится на первую и вторую части?
8. 16. Всего 80 баллов (распределили между двумя заданиями). Разделите это количество на две части в отношении 9 : 11. Сколько приходится на первую и вторую части?

Серия III. Необычные коэффициенты

В заданиях 17–24 внимательно складывайте числа отношения прежде, чем делить общее количество. Даже отношение 11 : 12 читается как 23 равные доли, а не как две доли. Это полезно обсудить вслух до вычислений.

1. 17. Всего 147 штук (упаковали сувениры в две коробки). Разделите это количество на две части в отношении 2 : 5. Сколько приходится на первую и вторую части?
2. 18. Всего 126 м (разделили верёвку). Разделите это количество на две части в отношении 4 : 5. Сколько приходится на первую и вторую части?
3. 19. Всего 126 кг (взяли две разновидности крупы). Разделите это количество на две части в отношении 1 : 6. Сколько приходится на первую и вторую части?
4. 20. Всего 135 шт. (разделили набор открыток). Разделите это количество на две части в отношении 7 : 8. Сколько приходится на первую и вторую части?
5. 21. Всего 104 л (смешали два раствора воды с красителем). Разделите это количество на две части в отношении 3 : 10. Сколько приходится на первую и вторую части?
6. 22. Всего 115 мин (разделили время на два этапа). Разделите это количество на две части в отношении 11 : 12. Сколько приходится на первую и вторую части?
7. 23. Всего 102 листов (распределили бумагу двум группам). Разделите это количество на две части в отношении 5 : 12. Сколько приходится на первую и вторую части?
8. 24. Всего 154 штук (распределили фишки в два мешочка). Разделите это количество на две части в отношении 9 : 13. Сколько приходится на первую и вторую части?

Исследовательская проверка

Последние два пункта требуют обоснования, а не только вычисления. Подумайте, когда условие задачи несовместимо с требованием делить неделимые предметы, и как восстановить долю общего количества по самому отношению.

1. 25. Можно ли разложить 101 целый жетон в две коробки строго в отношении 2 : 3 так, чтобы не делить жетоны на части? Объясните.
2. 26. Если сумма двух частей разделена в отношении 3 : 5, какую долю от общей суммы составляет большая часть? Запишите обыкновенную дробь.

Ответы и проверка — для учителя и родителя

Этот раздел находится после всех заданий. Для самостоятельной работы распечатайте ученику страницы до линии раздела с ключами либо закройте ответы отдельным листом.

Ключ к серии I

1. 1. 2 + 3 = 5 долей; одна доля: 60 : 5 = 12 наклейки. Первая часть 24 наклейки, вторая 36 наклейки. Контроль: 24 + 36 = 60; 24 : 36 = 2 : 3.
2. 2. 3 + 5 = 8 долей; одна доля: 80 : 8 = 10 тетрадей. Первая часть 30 тетрадей, вторая 50 тетрадей. Контроль: 30 + 50 = 80; 30 : 50 = 3 : 5.
3. 3. 4 + 7 = 11 долей; одна доля: 66 : 11 = 6 карандашей. Первая часть 24 карандашей, вторая 42 карандашей. Контроль: 24 + 42 = 66; 24 : 42 = 4 : 7.
4. 4. 5 + 6 = 11 долей; одна доля: 88 : 11 = 8 жетонов. Первая часть 40 жетонов, вторая 48 жетонов. Контроль: 40 + 48 = 88; 40 : 48 = 5 : 6.
5. 5. 1 + 4 = 5 долей; одна доля: 75 : 5 = 15 кг. Первая часть 15 кг, вторая 60 кг. Контроль: 15 + 60 = 75; 15 : 60 = 1 : 4.
6. 6. 7 + 9 = 16 долей; одна доля: 80 : 16 = 5 м. Первая часть 35 м, вторая 45 м. Контроль: 35 + 45 = 80; 35 : 45 = 7 : 9.
7. 7. 3 + 8 = 11 долей; одна доля: 99 : 11 = 9 л. Первая часть 27 л, вторая 72 л. Контроль: 27 + 72 = 99; 27 : 72 = 3 : 8.
8. 8. 5 + 9 = 14 долей; одна доля: 98 : 14 = 7 марок. Первая часть 35 марок, вторая 63 марок. Контроль: 35 + 63 = 98; 35 : 63 = 5 : 9.

Ключ к серии II

1. 9. 2 + 7 = 9 долей; одна доля: 117 : 9 = 13 яблок. Первая часть 26 яблок, вторая 91 яблок. Контроль: 26 + 91 = 117; 26 : 91 = 2 : 7.
2. 10. 4 + 9 = 13 долей; одна доля: 52 : 13 = 4 книг. Первая часть 16 книг, вторая 36 книг. Контроль: 16 + 36 = 52; 16 : 36 = 4 : 9.
3. 11. 5 + 8 = 13 долей; одна доля: 143 : 13 = 11 мин. Первая часть 55 мин, вторая 88 мин. Контроль: 55 + 88 = 143; 55 : 88 = 5 : 8.
4. 12. 6 + 11 = 17 долей; одна доля: 51 : 17 = 3 м. Первая часть 18 м, вторая 33 м. Контроль: 18 + 33 = 51; 18 : 33 = 6 : 11.
5. 13. 3 + 4 = 7 долей; одна доля: 119 : 7 = 17 штук. Первая часть 51 штук, вторая 68 штук. Контроль: 51 + 68 = 119; 51 : 68 = 3 : 4.
6. 14. 8 + 9 = 17 долей; одна доля: 102 : 17 = 6 кг. Первая часть 48 кг, вторая 54 кг. Контроль: 48 + 54 = 102; 48 : 54 = 8 : 9.
7. 15. 7 + 10 = 17 долей; одна доля: 85 : 17 = 5 л. Первая часть 35 л, вторая 50 л. Контроль: 35 + 50 = 85; 35 : 50 = 7 : 10.
8. 16. 9 + 11 = 20 долей; одна доля: 80 : 20 = 4 баллов. Первая часть 36 баллов, вторая 44 баллов. Контроль: 36 + 44 = 80; 36 : 44 = 9 : 11.

Ключ к серии III

1. 17. 2 + 5 = 7 долей; одна доля: 147 : 7 = 21 штук. Первая часть 42 штук, вторая 105 штук. Контроль: 42 + 105 = 147; 42 : 105 = 2 : 5.
2. 18. 4 + 5 = 9 долей; одна доля: 126 : 9 = 14 м. Первая часть 56 м, вторая 70 м. Контроль: 56 + 70 = 126; 56 : 70 = 4 : 5.
3. 19. 1 + 6 = 7 долей; одна доля: 126 : 7 = 18 кг. Первая часть 18 кг, вторая 108 кг. Контроль: 18 + 108 = 126; 18 : 108 = 1 : 6.
4. 20. 7 + 8 = 15 долей; одна доля: 135 : 15 = 9 шт.. Первая часть 63 шт., вторая 72 шт.. Контроль: 63 + 72 = 135; 63 : 72 = 7 : 8.
5. 21. 3 + 10 = 13 долей; одна доля: 104 : 13 = 8 л. Первая часть 24 л, вторая 80 л. Контроль: 24 + 80 = 104; 24 : 80 = 3 : 10.
6. 22. 11 + 12 = 23 долей; одна доля: 115 : 23 = 5 мин. Первая часть 55 мин, вторая 60 мин. Контроль: 55 + 60 = 115; 55 : 60 = 11 : 12.
7. 23. 5 + 12 = 17 долей; одна доля: 102 : 17 = 6 листов. Первая часть 30 листов, вторая 72 листов. Контроль: 30 + 72 = 102; 30 : 72 = 5 : 12.
8. 24. 9 + 13 = 22 долей; одна доля: 154 : 22 = 7 штук. Первая часть 63 штук, вторая 91 штук. Контроль: 63 + 91 = 154; 63 : 91 = 9 : 13.

Исследовательская проверка

1. 25. Нет: всего 2 + 3 = 5 равных долей, а 101 : 5 = 20,2 жетона на долю. Для целых жетонов это невозможно (101 не делится на 5).
2. 26. Всего 3 + 5 = 8 равных долей; большая часть занимает 5 из 8, то есть 5/8 общей суммы.

Три способа себя проверить

• По сумме. Сложите обе полученные части: должно выйти исходное общее количество.
• По отношению. Разделите обе части на размер одной доли: получите исходные коэффициенты в том же порядке.
• По здравому смыслу. Если первое число отношения меньше второго, первая часть должна быть меньше второй; все части неотрицательны.

Для работы на уроке полезно дать один номер с решённой схемой, затем задания из разных серий независимо. Если сумма совпала, но отношение перевёрнуто, проблема в чтении порядка величин; если отношение совпало, а сумма не совпала, чаще всего неверно определена величина одной доли. Ученик должен уметь объяснить отличие этих ошибок.