Дерево вариантов трёх последовательных выборов для 7 класса — упражнения с разбором

Проверочная работа, 7 класс. Каждый законченный путь дерева описывает три выбора в определённом порядке. В задачах встретятся три разных типа ситуации: независимые выборы с постоянным ветвлением, выбор без повторения и ветвление, которое зависит от предыдущего решения. Их нельзя смешивать.

Базовый уровень: построить три этажа дерева

Дерево начинается одной точкой. Каждая ветвь первого шага продолжается вариантами второго; каждое полученное начало продолжается вариантами третьего. Полный путь — запись из трёх выбранных значений. Для трёх этапов с 2, 3 и 2 вариантами число путей 2 · 3 · 2 = 12, если после любого выбора доступно одинаковое количество продолжений.

Удобная письменная схема: сначала перечислите первые варианты, от каждого протяните все вторые, а рядом с каждым двухшаговым началом запишите все допустимые третьи варианты. Не считайте промежуточный узел полным результатом. Например, «С1–Н2» — ещё не выбран десерт.

Первый блок: простое дерево, 8 заданий

1. В столовой сначала выбирают суп (С1 или С2), затем напиток (Н1, Н2 или Н3), затем десерт (Д1 или Д2). Сколько полных наборов? Запишите формулу подсчёта.
2. Для предыдущей ситуации перечислите все полные ветви, которые начинаются с С1. Используйте записи вида С1–Н1–Д1.
3. В той же ситуации сколько наборов включают напиток Н3? Объясните по уровням дерева.
4. В той же ситуации ученик насчитал 2 + 3 + 2 = 7 наборов. Что он перепутал и сколько наборов на самом деле?
5. В коде три знака, каждый может быть А или Б; повторения разрешены. Запишите все коды, начиная с А, и все коды, начиная с Б.
6. Сколько кодов из предыдущей задачи содержат ровно две буквы А? Перечислите их.
7. Сколько из восьми кодов заканчиваются на Б? Докажите по ветвлению.
8. Ученик записал ААА, ААБ, АБА, АББ, БАА, БАБ, БББ, БББ. Какую ветвь он пропустил и какую повторил?

Второй блок: запрет повторения, 4 задания

Если на первом шаге выбрана буква, использовать её повторно уже нельзя. Для выбора трёх разных букв число продолжений уменьшается: три, затем два, затем один. Не переносите автоматически правило «два варианта на каждом шаге» в задачу без повторений.

1. Из трёх разных букв К, Л, М составляют трёхбуквенный код без повторений. Сколько ветвей полного дерева и почему на каждом следующем уровне выборов меньше?
2. Перечислите все коды без повторений из К, Л, М. Объясните, чем КЛМ отличается от ЛКМ.
3. Если на первом шаге выбран К, какие полные коды остаются при запрете повторений?
4. Для трёхбуквенных кодов без повторений один ученик применил 3 · 3 · 3. Исправьте количество вариантов на втором и третьем шагах.

Повышенный уровень: ветви с разным количеством продолжений, 8 заданий

В маршрутных задачах число вариантов второго шага может зависеть от первого. Тогда посчитайте полные пути внутри каждой первой ветви и сложите итоги. Если после Л три станции, а после П две, то схема не является однородным деревом; одна формула произведения для всех ветвей даст неверный ответ.

1. Из двух маршрутов вначале выбирают левый Л или правый П. После Л доступно 3 станции, после П — 2. На каждой станции в конце есть 2 одинаково доступных выхода. Сколько всего конечных путей?
2. Сколько полных путей из предыдущей задачи идут через начальный маршрут Л? Сколько через П?
3. Для сценария с разным числом станций объясните, почему нельзя механически применить 2 · 3 · 2.
4. На первом шаге выбирают цвет из двух вариантов, на втором — одну из трёх фигур, на третьем — одну из двух рамок. После выбора конкретной фигуры сколько полных наборов с нею возможно?
5. На трёх последовательных шагах выбирают: одно из 4 направлений, затем один из 2 мостов, затем один из 3 пунктов. Сколько законченных маршрутов? Сколько начинается с заранее выбранного направления?
6. У дерева 18 законченных путей. На первом уровне 3 одинаковых выбора, на третьем 2 выхода из каждой ветви. Сколько вариантов должно быть на втором уровне каждой ветви, если количество одинаково?
7. Три независимых последовательных выбора дают 2, 2 и 4 вариантов. Сколько разных путей содержат заранее фиксированный первый и третий выбор?
8. Объясните, в каком случае для трёх последовательных выборов можно перемножить числа вариантов, а в каком требуется посчитать ветви отдельно. Приведите примеры из этой работы.

Критерии самостоятельной проверки

Каждое из двадцати заданий оценивается в 1 балл. Для номеров 2, 5, 8 и 10 нужен полный перечень путей; для остальных — ответ с объяснением подсчёта. Максимум 20 баллов. Если число путей совпало случайно, но схема содержит пропуски и повторы, ответ ещё не является доказательством.

Ответы с обоснованиями: задания 1–20

1. Число наборов 2 · 3 · 2 = 12: из 2 первых ветвей выходят по 3 вторых и по 2 третьих; складывать количества уровней нельзя.
2. С1–Н1–Д1, С1–Н1–Д2, С1–Н2–Д1, С1–Н2–Д2, С1–Н3–Д1, С1–Н3–Д2. Всего 6 полных ветвей, начинающихся с С1.
3. Для фиксированного Н3 можно выбрать 2 супа и 2 десерта: 2 · 1 · 2 = 4 набора.
4. Ошибка — сложение чисел вариантов разных этапов. Второй выбор выполняется для каждой ветви первого, третий — для каждой ветви второго; получается 12.
5. ААА, ААБ, АБА, АББ; БАА, БАБ, ББА, БББ. Ровно 8 различных трёхбуквенных последовательностей.
6. Три кода: ААБ, АБА, БАА. Место одной буквы Б можно выбрать тремя способами, другие две позиции заняты А.
7. Четыре: ААБ, АББ, БАБ, БББ. Фиксирован конец Б, первые две позиции имеют по 2 возможности.
8. Пропущен код ББА, повторён БББ. После удаления повторения в списке лишь 7 разных ветвей; полное дерево содержит 8.
9. 3 · 2 · 1 = 6. После первого выбора остаются 2 неиспользованные буквы, после второго — только 1.
10. КЛМ, КМЛ, ЛКМ, ЛМК, МКЛ, МЛК. КЛМ и ЛКМ различаются порядком букв; это разные конечные ветви.
11. Только КЛМ и КМЛ: после первого К остаются Л и М в двух возможных порядках.
12. Во второй позиции 2 варианта, в третьей 1. Поэтому 3 · 2 · 1 = 6, а не 27; повторять буквы нельзя.
13. Через Л: 3 · 2 = 6 маршрутов, через П: 2 · 2 = 4. Всего 6 + 4 = 10.
14. Через Л проходят 6 путей, через П — 4. Две начальные ветви отличаются количеством станций.
15. Формула 2 · 3 · 2 = 12 неверна, потому что после П не 3, а 2 станции. Считаем для каждой ветви отдельно: 3 · 2 + 2 · 2 = 10.
16. Для конкретной фигуры 2 цвета и 2 рамки: 2 · 1 · 2 = 4 полных набора.
17. Всего 4 · 2 · 3 = 24. Если первое направление фиксировано, остаётся 1 · 2 · 3 = 6 маршрутов.
18. На втором уровне 3 варианта: 3 · 3 · 2 = 18; 18 : (3 · 2) = 3. Число вариантов на каждом шаге считается одинаковым для всех ветвей.
19. Первый и третий этапы фиксированы (по одному выбору); второй имеет 2: 1 · 2 · 1 = 2 пути.
20. Правило произведения работает, если на каждом шаге из каждой живой ветви доступно одинаковое число продолжений, например 2 супа, 3 напитка, 2 десерта. Если продолжений после Л и П разное число, считаем пути отдельно и складываем: 6 + 4 = 10.

Контрольный вывод

Три этапа не означают ровно три варианта и не обязывают все задачи решать одной формулой. Проверьте исходные ограничения; укажите, зависят ли продолжения от раннего выбора; перечислите возможные пути по порядку. Полное дерево позволяет одновременно убедиться, что все результаты допустимы, а одинаковые результаты не записаны дважды.

Практическая проверка: возьмите любое решение с перечислением, закройте ответ и восстановите его по префиксам. Для бинарного дерева три уровня означают 2 → 4 → 8; для запрета повторений трёх букв 3 → 6 → 6. Сравнение этих двух схем помогает запомнить не цифры, а смысл последовательного выбора.