Дерево вариантов выбора одежды из двух наборов — тренажёр по математике, 6 класс

Тренажёр для 6 класса. Наша цель — научиться изображать дерево вариантов одежды, когда нужно выбрать ровно одну вещь из первого набора и ровно одну из второго. Ветви дерева показывают все пары без пропусков и повторов. Сначала найдите ошибки в чужих решениях, затем постройте собственные деревья на бумаге.

Опорная модель: две ступени выбора

В первом наборе три футболки: белая (Б), синяя (С), жёлтая (Ж). Во втором — две пары брюк: тёмные (Т) и серые (Г). Все вещи различимы; любые футболка и брюки подходят друг к другу. От каждой футболки дерево расходится на две ветви:

Б → БТ, БГ
С → СТ, СГ
Ж → ЖТ, ЖГ

Итого 3 × 2 = 6 сочетаний, потому что у каждой из трёх первых ветвей по два продолжения. Записываем пару как «верх-низ», поэтому БТ и ТБ не два разных комплекта: запись «ТБ» вообще не соответствует принятому порядку.

Шесть неверных решений: найдите и исправьте

1. Ошибка «складывать вместо умножать». При 4 рубашках и 3 парах брюк ученик получил 4 + 3 = 7 комплектов. Сколько на самом деле?
2. Ошибка «пропустить продолжение». Для верха {А, Б, В} и низа {1, 2} ученик записал А1, А2, Б1, Б2, В1. Какой комплект пропущен и сколько их всего?
3. Ошибка «считать обратный порядок». Для двух свитеров К, Л и двух юбок М, Н ученик записал КМ, КН, ЛМ, ЛН, МК, НК, МЛ, НЛ. Почему в этой модели не восемь, а четыре комплекта?
4. Ошибка «дважды записать ветвь». Для шапок {Р, С} и шарфов {1, 2, 3} ученик записал Р1, Р2, Р3, С1, С2, С2. Какой комплект повторён, какой отсутствует?
5. Ошибка «не учесть запрет». Есть 2 пиджака {Т, У} и 3 галстука {1, 2, 3}, но пиджак У с галстуком 3 нельзя сочетать по условию. Ученик ответил 6. Найдите допустимое количество и выпишите пары.
6. Ошибка «объединить различимые вещи». Из двух разных белых футболок (Б1, Б2) и одних чёрных шорт можно составить, по мнению ученика, только один комплект, потому что обе футболки белые. Сколько различных наборов вещей, если футболки — отдельные предметы?

Самостоятельные задачи: нарисуйте дерево

7. У Леры 3 разные блузки и 4 разные юбки. Сколько пар «блузка + юбка»? Нарисуйте три первые ветви.
8. В поездку берут одну из 5 футболок и одну из 2 пар шорт. Сколько вариантов?
9. На витрине 2 вида кепок и 5 видов шарфов. Сколько возможных пар? Запишите правило подсчёта.
10. Есть куртки {К, Л, М} и брюки {1, 2, 3}; комбинация Л2 запрещена. Сколько разрешённых комплектов? Выпишите все разрешённые пары.
11. У Алии четыре разные кофты и только одни брюки. Из скольких комплектов она может выбирать? Почему ответ не ноль?
12. У Дани есть 2 жилета и 3 рубашки. Он составил список из шести пар, но жилет 2 с рубашкой В записал дважды, а одну пару забыл. Сколько различных пар в его списке и сколько должно быть в полном?
13. Составьте полный список для двух шапок {А, Б} и четырёх шарфов {1, 2, 3, 4}. Сколько концов ветвей у дерева?
14. Выбор из первого набора {Р, С, Т} и второго {X, Y} даёт шесть пар. Из набора удалили предмет Т. Сколько вариантов осталось и на сколько их стало меньше?
15. Второй набор содержит 3 вида брюк, а всего допустимых сочетаний без ограничений — 15. Сколько рубашек в первом наборе? Постройте схему словами.

Исправленные решения и полный ключ

Проверка шести ошибок

1. 12. Для каждой из 4 рубашек по 3 варианта брюк: 4 × 3 = 12. Сумма 7 — количество вещей, а не комплектов.
2. Пропущена В2; всего 6. Для В должно быть два окончания, как для А и Б: 3 × 2 = 6.
3. 4. Порядок записей установлен как «свитер-юбка». МК — та же пара предметов, что КМ, а не новый комплект. Правильный список: КМ, КН, ЛМ, ЛН.
4. Повторена С2, пропущена С3. Исправленный список: Р1, Р2, Р3, С1, С2, С3; всего 6.
5. 5. Без запрета 2 × 3 = 6; исключаем У3. Пары: Т1, Т2, Т3, У1, У2.
6. 2. Различимы Б1 и Б2: (Б1, шорты) и (Б2, шорты). При подсчёте учитываются предметы, а не только их цвет.

Решения задач 7–15

7. 12. Три ветви от блузок, от каждой четыре окончания-юбки: 3 × 4 = 12.
8. 10. Пять первых ветвей, у каждой два продолжения: 5 × 2.
9. 10. 2 × 5 = 10; от каждой кепки по пять возможных шарфов.
10. 8. 3 × 3 − 1 = 8. Разрешённые пары: К1, К2, К3, Л1, Л3, М1, М2, М3.
11. 4. 4 × 1 = 4: одна доступная вещь во втором наборе даёт одно продолжение каждой ветви.
12. 5 различных в ошибочном списке, 6 в полном. Шесть записей с одной повторной дают пять разных сочетаний, отсутствует одна из возможных пар.
13. А1, А2, А3, А4, Б1, Б2, Б3, Б4; 8 концов. Две первые ветви × четыре продолжения.
14. 4 варианта, на 2 меньше. Остались РX, РY, СX, СY вместо 6 пар.
15. 5 рубашек. 15 : 3 = 5. Пять начальных ветвей, каждая заканчивается тремя видами брюк.

Проверка смысла ответа

Произведение размеров наборов годится лишь тогда, когда любой предмет первого набора разрешено сочетать с любым предметом второго. Если есть запреты, сначала найдите все пары и вычеркните запрещённые. Если второго набора нет вообще (0 предметов), комплектов ровно 0; если в нём одна вещь, варианты не исчезают. Каждая концевая ветвь соответствует одной уникальной паре. Такое дерево нужно для подсчёта вариантов, а не для вычисления вероятности — она потребовала бы дополнительного условия о случайном выборе.