Диагностика навыка: уравнение окружности с центром в начале координат — 9 класс

Уравнение окружности с центром в начале координат получается из расстояния от точки до начала осей: если радиус r положителен, то x² + y² = r². Не смешивайте окружность (только точки на границе) и круг (точки внутри вместе с границей). На этой странице нужно получать уравнения, проверять принадлежность точек и восстанавливать неизвестную координату. Все проверки можно выполнить целыми числами.

Числовая лаборатория: радиус и квадрат радиуса

Начните с короткого опыта. Для точек A(3; 4) и B(−3; 4) сумма квадратов координат одинакова: 9 + 16 = 25. Обе лежат на окружности радиуса 5 с центром O(0; 0). А точка C(4; 4) даёт 16 + 16 = 32 и на той же окружности не лежит. Знаки координат не влияют на сумму их квадратов, однако сами координаты на рисунке различны.

Серия 1. Восстанови уравнение по радиусу

В каждом из пяти пунктов дан центр O(0; 0) и положительный радиус. Запишите уравнение без квадратного корня в правой части; не перепутайте радиус с его квадратом. Для проверки подставьте точку (r; 0): она обязана удовлетворять полученному уравнению.

1. Радиус окружности r = 2. Уравнение: ____________________.
2. Радиус окружности r = 3. Уравнение: ____________________.
3. Радиус окружности r = 5. Уравнение: ____________________.
4. Радиус окружности r = 7. Уравнение: ____________________.
5. Радиус окружности r = 10. Уравнение: ____________________.

Серия 2. Точка на окружности, внутри или снаружи?

Сначала вычислите x² + y², а потом сравните с r². Напишите ровно одну характеристику: «на окружности», «внутри» или «снаружи». Если точка внутри, она всё равно не принадлежит окружности. В качестве самопроверки представьте окружность на клетчатой бумаге.

6. Окружность x² + y² = 25. Точка (3, 4). Где она находится? __________.
7. Окружность x² + y² = 25. Точка (4, 4). Где она находится? __________.
8. Окружность x² + y² = 25. Точка (0, −5). Где она находится? __________.
9. Окружность x² + y² = 9. Точка (2, 2). Где она находится? __________.
10. Окружность x² + y² = 100. Точка (6, 8). Где она находится? __________.
11. Окружность x² + y² = 4. Точка (0, 0). Где она находится? __________.
12. Окружность x² + y² = 49. Точка (7, 1). Где она находится? __________.

Серия 3. Координата с двумя знаками

Если точка имеет вид (a; y), то y² = r² − a². Когда правая часть — положительный полный квадрат, получаются два ответа y = ±b. Если значение равно нулю, остаётся только y = 0. Ошибка «забыть минус» встречается даже у тех, кто правильно записал формулу.

13. Окружность x² + y² = 25; известна координата x = 3. Найдите все значения y: __________.
14. Окружность x² + y² = 25; известна координата x = 0. Найдите все значения y: __________.
15. Окружность x² + y² = 100; известна координата x = 8. Найдите все значения y: __________.
16. Окружность x² + y² = 169; известна координата x = 12. Найдите все значения y: __________.

Серия 4. Исправь неверную модель

Ниже приводятся ошибочные уравнения для окружности с центром O(0; 0). Найдите нарушение правила и запишите верную формулу. В рабочей тетради объясните, почему расстояние до центра остаётся одинаковым у любой точки такой окружности.

17. r = 4, но записано «x² + y² = 4». Исправьте запись: __________.
18. r = 3, но записано «x + y = 9». Исправьте запись: __________.
19. r = 5, но записано «x² − y² = 25». Исправьте запись: __________.

Ответы: числовые проверки и выводы

1. x² + y² = 4, поскольку 2² = 4.
2. x² + y² = 9, поскольку 3² = 9.
3. x² + y² = 25, поскольку 5² = 25.
4. x² + y² = 49, поскольку 7² = 49.
5. x² + y² = 100, поскольку 10² = 100.
6. 3² + (4)² = 25; r² = 25. Точка на окружности.
7. 4² + (4)² = 32; r² = 25. Точка снаружи.
8. 0² + (−5)² = 25; r² = 25. Точка на окружности.
9. 2² + (2)² = 8; r² = 9. Точка внутри.
10. 6² + (8)² = 100; r² = 100. Точка на окружности.
11. 0² + (0)² = 0; r² = 4. Точка внутри.
12. 7² + (1)² = 50; r² = 49. Точка снаружи.
13. y² = 25 − 9 = 16; y = ±4.
14. y² = 25 − 0 = 25; y = ±5.
15. y² = 100 − 64 = 36; y = ±6.
16. y² = 169 − 144 = 25; y = ±5.
17. x² + y² = 16: следует заменить 4 на квадрат радиуса.
18. x² + y² = 9: нужно возвести обе координаты в квадрат.
19. x² + y² = 25: расстояние вычисляют суммой квадратов.

Проверка по обратному действию: взяв любой ответ из серии 3, подставьте обе координаты в x² + y² = r². При положительном y будут те же квадраты, что и при отрицательном y. В серии 2 полезно дополнительно обсудить точку O(0; 0): она внутри любой окружности положительного радиуса, но не принадлежит самой окружности.

Педагогу: удобно сначала дать лабораторию и серию 1, потом провести пяти минутную проверку по сериям 2 и 3. При проверке отличайте две ошибки: неправильный квадрат радиуса и неверное понимание слов «внутри окружности». Укажите ученику, что математически корректное выражение «внутри круга» часто используют в быту, но здесь требуется точное сравнение с окружностью как линией.