Диагностика навыка: задачи на увеличение по фиксированному множителю — 9 класс

Этот углублённый практикум объясняет увеличение по одному и тому же множителю: величина растёт не на одинаковое число единиц, а в одинаковое число раз. Для 9 класса это удобная модель геометрической прогрессии в задачах на копирование, тиражирование и условный рост. В начале показана диагностика различия с арифметической прогрессией; затем следуют прямые и обратные модели, а в конце — проценты.

Сначала различим «на» и «в»

Если количество каждый час увеличивается на 3, шаги имеют одинаковую разность: 5, 8, 11, 14. Если каждый час увеличивается в 3 раза, получаем 5, 15, 45, 135 — одинаковый множитель. Для этого листа начальное значение обозначим A₀, а величину через k полных шагов — Aₖ. Тогда A_k = A₀ · q^k, где q > 1. Нумерация с нулевого шага отличается от b₁ в школьной формуле bₙ = b₁ qⁿ⁻¹: их смешивать нельзя.

Раздел I. Узнайте правило по последовательности

Для каждого ряда решите, действительно ли все переходы сделаны с одним и тем же множителем. Если нет, назовите контрпример. Попросите одноклассника проверить делением каждого следующего члена на предыдущий.

1. 6 → 12 → 24 → 48. Это рост в фиксированное число раз? Если да, найдите множитель.
2. 4 → 8 → 12 → 16. Это рост в фиксированное число раз? Если да, найдите множитель.
3. 3 → 9 → 27 → 81. Это рост в фиксированное число раз? Если да, найдите множитель.
4. 5 → 10 → 20 → 45. Это рост в фиксированное число раз? Если да, найдите множитель.

Раздел II. Прямые задачи — найдите результат через k шагов

Выпишите начальное количество, множитель и число шагов. В заданиях речь идёт об условных математических моделях, а не о гарантированном росте реальных людей или организаций. Обязательно проверьте, что для q > 1 результат превосходит исходное значение.

5. Количество экземпляров после копирования. Сначала 12 экземпляров, на каждом шаге количество умножается на 2. Сколько будет после 4 шагов?
6. Число клеток в учебной модели. Сначала 5 клеток, на каждом шаге количество умножается на 3. Сколько будет после 3 шагов?
7. Количество жетонов. Сначала 4 жетонов, на каждом шаге количество умножается на 4. Сколько будет после 3 шагов?
8. Число карточек после удвоения. Сначала 25 карточек, на каждом шаге количество умножается на 2. Сколько будет после 5 шагов?
9. Высота условной модели роста. Сначала 16 см, на каждом шаге количество умножается на 3/2. Сколько будет после 3 шагов?
10. Количество условных баллов. Сначала 64 баллов, на каждом шаге количество умножается на 5/4. Сколько будет после 2 шагов?
11. Число элементов рисунка. Сначала 3 элементов, на каждом шаге количество умножается на 3. Сколько будет после 4 шагов?
12. Число листов после утроения. Сначала 2 листов, на каждом шаге количество умножается на 3. Сколько будет после 5 шагов?

Раздел III. Обратные модели — восстановите начало

Известен конечный результат и постоянный множитель. Найдите начальное значение: сначала вычислите qᵏ, затем разделите полученное число на этот множитель. Не делите только на q — так вы вернётесь лишь на один шаг. Проверкой служит повторное умножение начального значения k раз.

13. После 3 шагов получили 288 копий; на каждом шаге количество умножалось на 2. Сколько было сначала?
14. После 4 шагов получили 405 точек в схеме; на каждом шаге количество умножалось на 3. Сколько было сначала?
15. После 3 шагов получили 256 условных единиц; на каждом шаге количество умножалось на 4. Сколько было сначала?
16. После 4 шагов получили 400 фишек; на каждом шаге количество умножалось на 2. Сколько было сначала?
17. После 3 шагов получили 135 условных баллов; на каждом шаге количество умножалось на 3/2. Сколько было сначала?
18. После 3 шагов получили 625 элементов в цепочке; на каждом шаге количество умножалось на 5. Сколько было сначала?

Раздел IV. Сколько шагов требуется?

Без логарифмов: выпишите подряд величины начиная с A₀, пока не встретите данное конечное число. Количество стрелок между началом и концом — искомое k. Не включайте начальное состояние в число выполненных шагов.

19. Было 3 отпечатков, стало 96; после каждого шага величина умножалась на 2. Найдите число шагов.
20. Было 4 жетонов, стало 324; после каждого шага величина умножалась на 3. Найдите число шагов.
21. Было 5 схематичных клеток, стало 160; после каждого шага величина умножалась на 2. Найдите число шагов.
22. Было 2 условных единиц, стало 512; после каждого шага величина умножалась на 4. Найдите число шагов.

Раздел V. Переведите проценты в постоянный множитель

Фраза «увеличивается на 20% после каждого шага» означает q = 1 + 20/100 = 1,2, а не q = 20. Процент считается от нового значения на каждом шаге: за два шага рост на 20% не равен просто 40% от исходного. Покажите формулу и отдельно укажите множитель.

23. Прирост 20% после каждого шага. Начальное значение 100 условных единиц. Найдите множитель q и итог после 2 шагов.
24. Прирост 25% после каждого шага. Начальное значение 64 условных единиц. Найдите множитель q и итог после 2 шагов.
25. Прирост 50% после каждого шага. Начальное значение 40 условных единиц. Найдите множитель q и итог после 3 шагов.
26. Прирост 10% после каждого шага. Начальное значение 100 условных единиц. Найдите множитель q и итог после 2 шагов.

Ключ для самопроверки — 26 пунктов

1. да, q = 2. Для проверки сравните отношения соседних чисел, а не их разности.
2. нет: постоянна разность 4, множители различаются. Для проверки сравните отношения соседних чисел, а не их разности.
3. да, q = 3. Для проверки сравните отношения соседних чисел, а не их разности.
4. нет: в последнем переходе множитель 45/20. Для проверки сравните отношения соседних чисел, а не их разности.
5. A₄ = 12 · (2)⁴ = 192 экземпляров. Каждый шаг умножает количество на 2.
6. A₃ = 5 · (3)³ = 135 клеток. Каждый шаг умножает количество на 3.
7. A₃ = 4 · (4)³ = 256 жетонов. Каждый шаг умножает количество на 4.
8. A₅ = 25 · (2)⁵ = 800 карточек. Каждый шаг умножает количество на 2.
9. A₃ = 16 · (3/2)³ = 54 см. Каждый шаг умножает количество на 3/2.
10. A₂ = 64 · (5/4)² = 100 баллов. Каждый шаг умножает количество на 5/4.
11. A₄ = 3 · (3)⁴ = 243 элементов. Каждый шаг умножает количество на 3.
12. A₅ = 2 · (3)⁵ = 486 листов. Каждый шаг умножает количество на 3.
13. A₀ = 288 / (2)³ = 36; проверка: 36 · (2)³ = 288.
14. A₀ = 405 / (3)⁴ = 5; проверка: 5 · (3)⁴ = 405.
15. A₀ = 256 / (4)³ = 4; проверка: 4 · (4)³ = 256.
16. A₀ = 400 / (2)⁴ = 25; проверка: 25 · (2)⁴ = 400.
17. A₀ = 135 / (3/2)³ = 40; проверка: 40 · (3/2)³ = 135.
18. A₀ = 625 / (5)³ = 5; проверка: 5 · (5)³ = 625.
19. 5 шагов. Последовательность: 3 → 6 → 12 → 24 → 48 → 96; между первым и последним состояниями 5 переходов.
20. 4 шагов. Последовательность: 4 → 12 → 36 → 108 → 324; между первым и последним состояниями 4 переходов.
21. 5 шагов. Последовательность: 5 → 10 → 20 → 40 → 80 → 160; между первым и последним состояниями 5 переходов.
22. 4 шагов. Последовательность: 2 → 8 → 32 → 128 → 512; между первым и последним состояниями 4 переходов.
23. Множитель q = 6/5; после 2 шагов A₂ = 100 · (6/5)² = 144 условных единиц.
24. Множитель q = 5/4; после 2 шагов A₂ = 64 · (5/4)² = 100 условных единиц.
25. Множитель q = 3/2; после 3 шагов A₃ = 40 · (3/2)³ = 135 условных единиц.
26. Множитель q = 11/10; после 2 шагов A₂ = 100 · (11/10)² = 121 условных единиц.

Критерии оценивания: 1 балл за математическую модель и 1 за числовой ответ в заданиях 5–26, по 1 баллу за распознавание в заданиях 1–4 (всего 48). Если ученик постоянно прибавляет один и тот же процент исходной величины, предложите расписать два последовательных шага. Если неверно находит k, просите провести стрелки между состояниями: A₀ → A₁ → A₂. Если получилось нецелое число «листов», проверьте, правильно ли выбран множитель и завершён ли каждый шаг.

Педагогическое замечание: модель постоянного множителя полезна при изучении геометрической прогрессии, но реальные процессы не обязаны бесконечно следовать этой схеме. Здесь рассматривается только заданный в условии конечный промежуток времени. Такой комментарий помогает отличать математическое допущение от утверждения о реальном мире.

Разбор процента на конкретном примере: пусть A₀ = 100 и увеличение на каждом шаге составляет 20%. Первый результат A₁ = 120, следующий A₂ = 144. Поэтому после двух шагов итоговый прирост — 44 единицы, а не 40. Причина в том, что на втором шаге 20% берутся уже от 120. Обратную задачу решаем в другом направлении: если A₂ = 144 и q = 1,2, то A₀ = 144 : 1,2² = 100. Именно степень с количеством шагов позволяет не смешивать одно увеличение с несколькими последовательными увеличениями.