Дифференцированные платежи и общий размер переплаты: задачи и решения для 11 класса
Практическая карточка. Проверочная работа для 11 класса: при дифференцированной схеме основной долг погашается равными долями, а проценты начисляются на уменьшающийся остаток. Все условия учебные, в тенге, с фиксированной номинальной годовой ставкой и без комиссий; платежи в конце месяца.
Содержание статьи7 разделов
Памятка: что остаётся постоянным
Для суммы P, n месяцев и месячной ставки i=R/(12·100) ежемесячно возвращаем долю основного долга D=P/n. Перед k-м платежом остаток Bk−1=P−(k−1)D; проценты Ik=iBk−1; полный платёж Tk=D+Ik. Без округления суммарные проценты равны i·P·(n+1)/2. Именно эти проценты, а не полная сумма выплат, являются переплатой по модели.
Проверочный образец: 60 000 ₸ на 6 месяцев под 12% годовых
| Месяц | Остаток до платежа, ₸ | Тело долга, ₸ | Проценты, ₸ | Платёж, ₸ | Остаток, ₸ |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 60 000,00 | 10 000,00 | 600,00 | 10 600,00 | 50 000,00 |
| 2 | 50 000,00 | 10 000,00 | 500,00 | 10 500,00 | 40 000,00 |
| 3 | 40 000,00 | 10 000,00 | 400,00 | 10 400,00 | 30 000,00 |
| 4 | 30 000,00 | 10 000,00 | 300,00 | 10 300,00 | 20 000,00 |
| 5 | 20 000,00 | 10 000,00 | 200,00 | 10 200,00 | 10 000,00 |
| 6 | 10 000,00 | 10 000,00 | 100,00 | 10 100,00 | 0,00 |
Итог: первая выплата 10 600,00 ₸, последняя 10 100,00 ₸. Сумма процентов 2 100,00 ₸. Проверка без таблицы: 0,01·60 000·7/2 = 2 100 ₸. Общая сумма возврата = 60 000 + 2 100 = 62 100 ₸.
Базовый уровень — 8 числовых задач
В каждом из номеров 1–16 найдите четыре значения: (1) постоянную долю долга D, (2) первый платёж, (3) последний платёж, (4) всю процентную переплату за срок. Сначала выполните пункты 1–8 без подсказки, затем 9–16.
| № | P, ₸ | R годовых | n, мес |
|---|---|---|---|
| 1 | 120 000 | 12% | 12 |
| 2 | 180 000 | 24% | 12 |
| 3 | 96 000 | 6% | 8 |
| 4 | 200 000 | 12% | 10 |
| 5 | 360 000 | 12% | 12 |
| 6 | 80 000 | 0% | 8 |
| 7 | 48 000 | 24% | 6 |
| 8 | 150 000 | 12% | 15 |
| 9 | 240 000 | 18% | 12 |
| 10 | 90 000 | 24% | 9 |
| 11 | 72 000 | 12% | 12 |
| 12 | 144 000 | 12% | 6 |
| 13 | 300 000 | 6% | 10 |
| 14 | 120 000 | 24% | 24 |
| 15 | 84 000 | 12% | 7 |
| 16 | 200 000 | 12% | 20 |
Повышенный уровень — проверьте смысл графика
- Долг 60 000 ₸ на 6 месяцев под 12% годовых. Назовите проценты во 2-м и 5-м месяцах и объясните, почему они отличаются.
- Для P=120 000 ₸ и n=12 при ставке 0% в год верно ли, что первый платёж больше последнего? Определите оба платежа.
- Найдите ошибку: «при дифференцированной схеме ежемесячная доля основного долга равна всему первому платежу». Используйте образец.
- При постоянных P и R положительных сравните суммарную переплату по дифференцированной схеме для сроков n=6 и n=12. Объясните, почему долгий срок дороже по процентам.
Ответы к задачам 1–16
| № | D, ₸/мес | Первый T₁, ₸ | Последний Tₙ, ₸ | Переплата, ₸ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10 000,00 | 11 200,00 | 10 100,00 | 7 800,00 |
| 2 | 15 000,00 | 18 600,00 | 15 300,00 | 23 400,00 |
| 3 | 12 000,00 | 12 480,00 | 12 060,00 | 2 160,00 |
| 4 | 20 000,00 | 22 000,00 | 20 200,00 | 11 000,00 |
| 5 | 30 000,00 | 33 600,00 | 30 300,00 | 23 400,00 |
| 6 | 10 000,00 | 10 000,00 | 10 000,00 | 0,00 |
| 7 | 8 000,00 | 8 960,00 | 8 160,00 | 3 360,00 |
| 8 | 10 000,00 | 11 500,00 | 10 100,00 | 12 000,00 |
| 9 | 20 000,00 | 23 600,00 | 20 300,00 | 23 400,00 |
| 10 | 10 000,00 | 11 800,00 | 10 200,00 | 9 000,00 |
| 11 | 6 000,00 | 6 720,00 | 6 060,00 | 4 680,00 |
| 12 | 24 000,00 | 25 440,00 | 24 240,00 | 5 040,00 |
| 13 | 30 000,00 | 31 500,00 | 30 150,00 | 8 250,00 |
| 14 | 5 000,00 | 7 400,00 | 5 100,00 | 30 000,00 |
| 15 | 12 000,00 | 12 840,00 | 12 120,00 | 3 360,00 |
| 16 | 10 000,00 | 12 000,00 | 10 100,00 | 21 000,00 |
Каждая строка проверяется одними и теми же равенствами D=P/n, T₁=D+Pi, Tₙ=D+Di и ΣI=iP(n+1)/2. Например, в задаче 1 D=10 000 ₸, проценты первого месяца 120 000·0,01=1 200 ₸, поэтому T₁=11 200 ₸; последнего месяца 10 000·0,01=100 ₸, поэтому T₁₂=10 100 ₸. Переплата 0,01·120 000·13/2=7 800 ₸.
Разбор объяснительных задач
- Во втором месяце перед оплатой остаётся 50 000 ₸, проценты 500 ₸; в пятом — 20 000 ₸, проценты 200 ₸. Тело долга уменьшается на 10 000 ₸ ежемесячно, поэтому начисления падают на 100 ₸ каждый месяц.
- Неверно: при i=0 все платежи одинаковы и состоят только из основного долга: 120 000/12=10 000 ₸.
- Неверно: в образце доля тела D=10 000 ₸ каждый месяц, а первый полный платёж 10 600 ₸ включает ещё 600 ₸ процентов. Полные платежи постепенно уменьшаются.
- По формуле проценты для n=6 составят iP·7/2, для n=12 — iP·13/2, то есть во втором случае сумма больше на 3iP при P>0 и i>0. Причина: долг остаётся непогашенным дольше.
Критерии самопроверки и важные оговорки
Задания 1–16: по 4 балла за каждый правильно найденный показатель. Задания 17–20: по 2 балла за ответ с объяснением. При R=0 переплата равна 0, а при положительной ставке первый платёж больше последнего. Поскольку в таблицах P кратно n, в основной части D задан целым количеством тенге; в настоящем банковском графике дробные тиыны и последний платёж корректируются округлением. Формула переплаты предполагает отсутствие досрочного погашения, пропусков и дополнительных платежей.
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.