Длина общей внешней касательной двух окружностей — рабочий лист для 9 класса

Рабочий лист для 9 класса. Известны расстояние d между центрами двух окружностей и радиусы R и r. Требуется найти длину отрезка общей внешней касательной между точками касания, а не длину бесконечной прямой. Здесь это разные понятия.

Небольшой разбор перед тестом

Пусть A и B — точки, где общая внешняя касательная касается окружностей, O₁ и O₂ — их центры. Радиусы O₁A и O₂B перпендикулярны касательной. При параллельном переносе меньшего радиуса получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой d, одним катетом |R−r| и другим катетом AB. По теореме Пифагора:

L² = d² − (R−r)²; L = √(d² − (R−r)²). Формула относится именно к общей внешней касательной. Если d > |R−r|, отрезок положителен; если d < |R−r|, общей касательной нет. При d = |R−r| для внутреннего касания длина вырождается в нуль. Случай совпадающих окружностей нужно рассматривать отдельно.

Мини-тест: вычислить, выбрать, объяснить

В номерах 1–10 найдите длину между точками касания или обоснуйте отсутствие общей внешней касательной. Сделайте схематичный рисунок и подписывайте единицы.

1. № 1. d = 13 см; R = 8 см; r = 3 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.
2. № 2. d = 10 см; R = 9 см; r = 3 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.
3. № 3. d = 17 м; R = 11 м; r = 3 м. Вычислите L или объясните невозможность построения.
4. № 4. d = 25 см; R = 10 см; r = 3 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.
5. № 5. d = 15 см; R = 5 см; r = 5 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.
6. № 6. d = 41 м; R = 16 м; r = 7 м. Вычислите L или объясните невозможность построения.
7. № 7. d = 29 см; R = 25 см; r = 5 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.
8. № 8. d = 25 дм; R = 19 дм; r = 4 дм. Вычислите L или объясните невозможность построения.
9. № 9. d = 20 см; R = 13 см; r = 1 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.
10. № 10. d = 5 см; R = 8 см; r = 2 см. Вычислите L или объясните невозможность построения.

В номерах 11–18 восстановите недостающие данные, сравните отрезки или оцените верность рассуждения.

11. При R = 8 см, r = 3 см и L = 12 см найдите d.
12. При R = 10 м, r = 3 м, L = 24 м вычислите d.
13. d = 13 см, R = 8 см и L = 12 см. Известно R ≥ r. Найдите r.
14. Для двух окружностей d = R + r = 7 см, R = 4 см, r = 3 см. Чему равен L?
15. Удвоили оба радиуса и расстояние между центрами. Что станет с L, если исходное L = 8 дм?
16. При одинаковом d = 13 см сравните L для разностей радиусов 5 см и 12 см.
17. Верно ли L = √(d²−(R+r)²) для общей внешней касательной?
18. d = 6 см, R = 10 см, r = 4 см. Может ли общая внешняя касательная иметь положительную длину?

Лист ответов к номерам 1–10

Разбор вопросов 11–18

11. 11. d = 13 см: d² = L² + (R−r)² = 144 + 25 = 169 см².
12. 12. d = 25 м: d² = 576 + 49 = 625 м².
13. 13. r = 3 см: |R−r|=√(169−144)=5 см; по R≥r получаем 8−r=5. Без условия порядка радиусов возможен ещё r=13 см.
14. 14. L=√(49−1)=√48=4√3 см. При внешнем касании двух окружностей общие внешние касательные существуют.
15. 15. L увеличится вдвое до 16 дм, поскольку подкоренное выражение увеличится в 4 раза.
16. 16. При разности 5 см L=12 см; при разности 12 см L=5 см. Более большая разность радиусов даёт меньший отрезок при том же d.
17. 17. Нет. Для внешней общей касательной в прямоугольном треугольнике катет равен |R−r|; сумма R+r возникает в формуле длины общей внутренней касательной для непересекающихся окружностей.
18. 18. Нет: d=|R−r|, окружности касаются внутренним образом. Единственная общая касательная проходит в общей точке; расстояние между точками касания равно 0, положительной длины нет.

Спорные варианты и три типичные ошибки

• Не подставляйте R + r вместо R − r: так вы находите другую касательную — внутреннюю, если она существует.
• Не называйте √(отрицательного числа) длиной: в действительной геометрии это сигнал, что выбранное расположение окружностей не допускает искомую прямую.
• В уравнении d² = L² + (R−r)² квадрат расстояния измеряется в см² или м²; после извлечения корня единица снова линейная.

Самопроверка: начисляйте один балл за найденную формулу или объяснение существования касательной и второй за правильное вычисление с единицей; задания 15–18 требуют словесного довода. Зачёт: 14 из 18 заданий с верными обоснованиями. Если в № 13 забыто условие R ≥ r, ответ не считается полным.