Длина вектора в трёхмерной системе координат — тренажёр по математике, 11 класс

Исследование: от двух координат к трём

Длина вектора a=(x; y; z) равна |a|=√(x²+y²+z²). Формула следует из теоремы Пифагора, применённой дважды к взаимно перпендикулярным направлениям. Компоненты вектора уже даны: здесь не требуется сначала вычислять разности координат двух точек. Квадраты неотрицательны, поэтому длина не может быть отрицательной.

Наблюдение закономерности

Измерение вдоль одной оси совпадает с модулем соответствующей компоненты, но если ненулевых компонент несколько, складывать их модули вместо квадратов нельзя. Например, |(1; 2; 2)|=3, а 1+2+2=5 — ошибочный результат. Знак компоненты на длину не влияет: |(−3; 4; 0)|=|(3; 4; 0)|.

Гипотеза и доказательная проверка

Гипотеза: если умножить все компоненты вектора на число k, его длина изменится в |k| раз. Проверка алгеброй: |ka|=√((kx)²+(ky)²+(kz)²)=√(k²(x²+y²+z²))=|k|·|a|. Абсолютная величина обязательна: при k=−2 длина умножается на 2, а не становится отрицательной. При k=0 всегда получается нулевой вектор. Гипотеза верна для любого действительного k.

Тренажёр: вычислите длину 12 векторов

Покажите промежуточную сумму квадратов. Если корень не извлекается нацело, оставьте точный ответ со знаком √; десятичное приближение необязательно. Не переносите знак минус из координаты за пределы квадрата.

1. Найдите |a| для a=(2; 3; 6). Запишите точный ответ.
2. Найдите |a| для a=(-4; 0; 3). Запишите точный ответ.
3. Найдите |a| для a=(0; 0; 0). Запишите точный ответ.
4. Найдите |a| для a=(1; 2; 2). Запишите точный ответ.
5. Найдите |a| для a=(-2; -3; -6). Запишите точный ответ.
6. Найдите |a| для a=(4; 4; 7). Запишите точный ответ.
7. Найдите |a| для a=(0; -6; 8). Запишите точный ответ.
8. Найдите |a| для a=(3; 0; 4). Запишите точный ответ.
9. Найдите |a| для a=(-1; 1; 1). Запишите точный ответ.
10. Найдите |a| для a=(5; -2; 4). Запишите точный ответ.
11. Найдите |a| для a=(7; 0; 0). Запишите точный ответ.
12. Найдите |a| для a=(-8; -6; 0). Запишите точный ответ.

Самостоятельная серия: четыре проверки гипотезы

1. Проверьте гипотезу |ka|=|k|·|a| для a=(2; −1; 2), k=−3.
2. Проверьте гипотезу |ka|=|k|·|a| для a=(0; 5; 12), k=1/2.
3. Проверьте гипотезу |ka|=|k|·|a| для a=(−4; 4; −2), k=0.
4. Проверьте гипотезу |ka|=|k|·|a| для a=(1; 1; 0), k=−1.

Ключ с полными вычислениями

1. 1. |a|=√(2²+(3)²+(6)²)=√49=7. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
2. 2. |a|=√(-4²+(0)²+(3)²)=√25=5. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
3. 3. |a|=√(0²+(0)²+(0)²)=√0=0. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
4. 4. |a|=√(1²+(2)²+(2)²)=√9=3. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
5. 5. |a|=√(-2²+(-3)²+(-6)²)=√49=7. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
6. 6. |a|=√(4²+(4)²+(7)²)=√81=9. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
7. 7. |a|=√(0²+(-6)²+(8)²)=√100=10. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
8. 8. |a|=√(3²+(0)²+(4)²)=√25=5. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
9. 9. |a|=√(-1²+(1)²+(1)²)=√3=√3. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
10. 10. |a|=√(5²+(-2)²+(4)²)=√45=3√5. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
11. 11. |a|=√(7²+(0)²+(0)²)=√49=7. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.
12. 12. |a|=√(-8²+(-6)²+(0)²)=√100=10. Все три квадрата учтены, длина неотрицательна.

Ключ к проверке гипотезы

1. 13. |a|=3, |ka|=9, потому что |k|=3; ka=(−6; 3; −6).
2. 14. |a|=13, |ka|=13/2; ka=(0; 5/2; 6).
3. 15. |a|=6, но |0a|=0; нулевой вектор допустим.
4. 16. |a|=√2 и |−a|=√2: перемена направления не меняет длину.

Вывод и три ограничения

Вычисление длины всегда начинается с координат одного вектора. Если вместо вектора дано положение двух точек, сначала находят разность их координат. Если компоненты заданы в метрах, результат имеет размерность метров: сумма квадратов измеряется в м², а квадратный корень переводит её обратно в метры. Невозможно получить отрицательную длину; при |a|=0 все три компоненты равны нулю.

Отдельно проверьте в уме: 1) изменение знака одной компоненты оставляет длину прежней; 2) удвоение одной компоненты обычно не удваивает всю длину; 3) умножение сразу всех компонент на 2 точно удваивает длину. Эти три утверждения помогают отличать теорему о длине от распространённой ошибки «квадраты можно складывать без корня».

Для самопроверки каждому из 12 первых заданий можно дать по два балла (за сумму квадратов и итоговый корень), четырём последним — по три (новый вектор, исходная длина, проверка коэффициента). Максимум — 36. При записи иррационального значения точный ответ √n предпочтительнее округления без указания точности.

Почему важна третья координата

Рассмотрим векторы u=(3; 4; 0) и v=(3; 4; 12). Они имеют одинаковые первые две компоненты, но длина u равна 5, а длина v — 13. Так проявляется третье измерение: вместо расстояния только в горизонтальной плоскости мы учитываем вертикальное отклонение. Если игнорировать z, оба вектора ошибочно покажутся одинаковыми по длине. Именно этот случай отличает пространственную задачу от плоской.

Вектор w=(0; −5; 12) также имеет длину 13, несмотря на отрицательную координату. Это помогает проверить знак в ответе: длина зависит от квадрата, а не от направления. Однако нельзя говорить, что сами векторы v и w равны: у них разные координаты. Одинаковая длина — более слабое свойство, чем равенство векторов.

Два альтернативных способа самопроверки

Первый способ — контроль через квадраты: если вы написали |a|=L, возведите обе части в квадрат. Должно получиться L²=x²+y²+z². Например, для (4; 4; 7) сумма равна 16+16+49=81, поэтому длина 9; проверка 9²=81. Второй способ — оценка по одной компоненте: всегда |a|≥|x|, |a|≥|y|, |a|≥|z|. Ответ 6 для вектора (4; 4; 7) невозможен уже потому, что |z|=7.

Восстановление длины через геометрическую модель выполняют в два шага: сначала находят √(x²+y²) — длину проекции на плоскость xy; затем добавляют третью компоненту и получают √((x²+y²)+z²). Для вектора (0; −6; 8) промежуточная длина проекции равна 6, окончательная — 10. Совпадение с формулой суммы трёх квадратов объясняет, почему её можно применять без отдельного чертежа.

Как проверить ответ без калькулятора

Необязательно сразу находить приближённое значение √45: достаточно разложить подкоренное число 45=9·5 и записать √45=3√5. Такая запись точна. Если нужен контроль величины, 4²=16, 5²=25, 6²=36, 7²=49, поэтому √45 лежит строго между 6 и 7. Сравнение квадратов часто помогает выявить вычислительную ошибку. Для √51 границы 7 и 8, потому что 49<51<64. Обязательно сохраняйте радикал, если в задаче не оговорена точность округления.

Полезно отличать нулевой вектор от единичного. У нулевого все компоненты равны нулю и длина равна нулю. Единичный вектор — любой вектор длины ровно 1, например (0; −1; 0). Число ненулевых компонент не определяет длину: вектор (1; 0; 0) единичный, а (1; 1; 0) имеет длину √2. Эти замечания позволяют быстро оценить ответы без сложных преобразований.