Доказательство тождества раскрытием обеих частей: самостоятельная работа по математике, 7 класс

Диагностика перед самостоятельной работой. Чтобы доказать тождество, независимо раскрывают скобки слева и справа от знака равенства, приводят подобные слагаемые и сравнивают полученные многочлены. Подстановка одного числа не доказывает тождество: совпадение может быть случайным. В этой карточке нужно доказать верность или опровергнуть равенство, не пользуясь подстановкой вместо преобразований.

Стартовая проверка: правило и образец

Проверьте устно: −(x−4)=−x+4, а 3(2a−b)=6a−3b. После умножения двух двучленов нужно раскрыть все четыре произведения: (x+2)(x+3)=x²+3x+2x+6=x²+5x+6. Возводя сумму в квадрат, учитывайте удвоенное произведение: (a+b)²=a²+2ab+b².

Образец двухстороннего доказательства: 2(x+3)+3(x−1)=5x+3. Левая часть: 2x+6+3x−3=5x+3. Правая часть: 5x+3. После одинакового упрощения обе части совпали при любом x; равенство — тождество.

Самостоятельная работа: раскройте обе части

1. Проверьте: 2(x+5)+x = 3(x+3)+1. Запишите обе упрощённые части и вывод.
2. Проверьте: 3(a−4)+2a = 5(a−2)−2. Запишите обе упрощённые части и вывод.
3. Проверьте: 4(t+2)−2t = 2(t+4). Запишите обе упрощённые части и вывод.
4. Проверьте: 5(p−1)+p = 2(3p−1)−3. Запишите обе упрощённые части и вывод.
5. Проверьте: 2(3m−4) = 3(2m−2)−2. Запишите обе упрощённые части и вывод.
6. Проверьте: 3(x−2)+2(x+1) = 5(x+2)−14. Запишите обе упрощённые части и вывод.
7. Проверьте: (x+2)(x+3) = x(x+5)+6. Запишите обе упрощённые части и вывод.
8. Проверьте: (2y−1)(y+4) = 2y²+7y−4. Запишите обе упрощённые части и вывод.
9. Проверьте: (a+5)(a−5) = a²−25. Запишите обе упрощённые части и вывод.
10. Проверьте: 2(v−3)−(v+1) = v−5. Запишите обе упрощённые части и вывод.
11. Проверьте: (x−4)² = x²−16. Запишите обе упрощённые части и вывод.

Таблица самопроверки

Три ошибки, которые мешают доказательству

1. Знак перед скобками. Из −(v+1) получается −v−1, а не −v+1. Именно поэтому в задании 10 левая часть — v−7. 2. Неполное умножение. В (2y−1)(y+4) есть четыре слагаемых: 2y², 8y, −y и −4. 3. Ложный вывод по одному значению. Для не тождественных частей равенство иногда может выполняться при отдельных x; нужно сравнить выражения для всех допустимых значений, а не в одной точке.

Критерий: 1 балл за правильное преобразование левой части, 1 за правую и 1 за обоснованный вывод в каждом задании. Если получились разные многочлены, достаточно указать несовпадение коэффициентов, а для дополнительной проверки можно подобрать контрпример. У всех выражений этой карточки область определения — все действительные числа.