Двойные неравенства с натуральными числами — мини-тест с разбором для 5 класса

Мини-тест предназначен для 5 класса и занимает примерно 20–25 минут. Двойное неравенство одновременно задаёт две проверки: например, 8 < x ≤ 12 означает «x больше 8» и «x не больше 12». В этой работе x — натуральное число (1, 2, 3, …). В ответах к вопросам с выбором кратко укажите причину: только буквы недостаточно, чтобы показать понимание.

Бланк: номера 1–6 — понимание знаков; 7–14 — вычисления и поиск вариантов; 15–18 — объяснение и доказательство. Сверяйтесь с ключом только после завершения всего теста.

Вопросы на понимание

1. Какая запись означает «x больше 6, но не больше 10»: А) 6 < x ≤ 10; Б) 6 ≤ x < 10; В) 6 < x < 10?
2. Подходит ли x = 15 для 15 < x < 19?
3. Верно ли, что для 4 ≤ x ≤ 4 существует натуральное решение?
4. Выберите все решения 11 < x < 15 из списка 11, 12, 14, 15.
5. Что означает запись 18 ≤ x < 21 — включён ли 18 и включён ли 21?
6. Возможны ли натуральные x при 32 < x < 33?

Вычислительные вопросы

Записывайте именно множество натуральных решений, а не десятичные дроби. Удобно сначала найти наименьшее и наибольшее допустимые числа и проверить оба края. Если требуется количество, не забывайте о включении и исключении границ.

7. Перечислите натуральные x: 27 < x ≤ 31.
8. Перечислите натуральные x: 63 ≤ x < 67.
9. Найдите количество натуральных решений: 150 < x < 160.
10. Найдите сумму всех натуральных x: 9 < x < 13.
11. Найдите наибольшее натуральное решение 204 ≤ x < 218.
12. Найдите наименьшее натуральное решение 70 < x ≤ 90.
13. При каких натуральных x одновременно верны x > 44 и x ≤ 48?
14. Сколько решений имеет 999 ≤ x ≤ 1003?

Объясните или докажите

15. Ученик считает, что 21 ≤ x < 24 задаёт два числа. Опровергните на примере.
16. Почему 6 < x < 6 не имеет решений среди натуральных чисел?
17. Запишите двойным неравенством набор 51, 52, 53, 54 так, чтобы границы НЕ входили в ответ.
18. Можно ли заменить 8 < x ≤ 12 на 9 ≤ x < 13, если x натуральное? Обоснуйте.

Ответы и решения для проверки. Не выдавайте эту часть до завершения самостоятельной работы.

Ключ и объяснения

1. А: слева строгий знак, справа знак включения.
2. Нет, потому что 15 не больше 15.
3. Да, единственное решение x = 4.
4. 12 и 14; 13 тоже подошло бы, но его нет в предложенном списке.
5. 18 включён, 21 не включён.
6. Нет: между соседними натуральными числами нет другого натурального числа.

7. 28, 29, 30, 31.
8. 63, 64, 65, 66.
9. 9: это 151, …, 159.
10. 10 + 11 + 12 = 33.
11. 217.
12. 71.
13. 45, 46, 47, 48.
14. 5: 999, 1000, 1001, 1002, 1003.

15. Чисел три: 21, 22, 23. Ошибка — забыта включённая левая граница.
16. Ни одно число не может быть одновременно больше 6 и меньше 6.
17. 50 < x < 55; перечислены все натуральные решения.
18. Да: обе записи дают 9, 10, 11, 12; для натуральных чисел множества решений совпадают.

Самопроверка по критериям

За задания 1–14 начисляйте по одному баллу, за каждое из 15–18 — по два балла: один за правильный результат и один за обоснование. Максимум 22 балла. Ориентир для работы: 20–22 — уверенное выполнение; 16–19 — отдельные неточности; 11–15 — надо повторить границы; 0–10 — полезна повторная работа с числовым лучом. Это учебная шкала, не официальная отметка.

Проверка результата требует трёх действий. Сначала найдите минимальное и максимальное число из вашего списка; затем подставьте их в обе части двойного неравенства; наконец убедитесь, что между ними перечислены все натуральные числа по порядку. Для задания 18 достаточно доказать совпадение двух наборов — это сильнее, чем просто утверждать, что записи похожи.

Самые частые ошибки: перепутаны знаки < и ≤; правильный список составлен, но количество посчитано неверно; вместо натуральных чисел предложены дробные значения. Если в классе по принятой программе нуль считают натуральным, здесь ни один ответ не меняется: нижние границы всех перечислений положительны. Для обратной связи попросите объяснить одну неверную запись словами «граница входит / не входит».

Как отработать неудачные ответы на мини-тесте

Если ошибки возникли в заданиях 1–6, полезно вернуться к переводу фразы на математический язык. Запись «не больше» соответствует ≤, а «меньше» — <. Попросите записать это правило собственными словами и сразу подобрать пример числа, которое находится на разрешённой границе. При ошибках в заданиях 7–14 тренируйте последовательное перечисление натуральных чисел: сначала наименьшее подходящее, затем каждое следующее на единицу больше, пока не достигнут разрешённый предел. Так исключается потеря числа при переходе через десяток или сотню.

Задания 15–18 направлены не столько на счёт, сколько на математическое объяснение. В пункте 15 важно назвать все три числа, а не просто сказать, что ученик ошибся. В пункте 16 достаточно понять логическое противоречие: одновременно x > 6 и x < 6 невозможно. В пункте 17 требуется построить запись с открытыми границами; один из допустимых ответов уже приведён в ключе. В пункте 18 следует вспомнить, что мы работаем только с натуральными числами: выражения, отличающиеся на уровне вещественных чисел, могут задавать одинаковый набор натуральных решений.

Если мини-тест используется для оценки, договоритесь о форме ответа заранее: при простом перечислении допускается запись через запятую, для доказательства требуется хотя бы одно законченное объясняющее предложение. Ученик, указавший правильный набор без обоснования в задачах 15–18, получает один балл из двух; это позволяет отделить знание ответа от умения объяснять. После проверки лучше повторно решить только те номера, где причина ошибки была обнаружена, а не весь тест с нуля.