Формула полной вероятности по двум группам изделий — задания на закрепление, 11 класс

Углублённый практикум. Каждый раз случайно выбирается одно изделие из общего потока двух непересекающихся групп A и B. Событие D означает «изделие дефектно». Статистика учебная, не относится к реальным заводам.

Содержание статьи8 разделов

Модель полной вероятности

Если две группы образуют весь поток, P(D) = P(A) × P(D | A) + P(B) × P(D | B). Обязательно P(A) + P(B) = 1. В записи процентов сначала переводите числа в доли: 20 % = 0,2. Не складывайте проценты брака без весов.

Группа Доля выпуска Вероятность дефекта внутри группы Вклад в общий риск
A s a s × a
B 1 − s b (1 − s) × b
Всего 1 — s × a + (1 − s) × b

Пограничные случаи: если s = 0, результат равен b; если s = 1, результат равен a. При a = b общий риск одинаков при любой доле групп. Если искомая s выходит за промежуток от 0 до 1, исходные данные противоречат предположениям.

Уровень 1. Доли выпуска и проценты брака

  1. Партия A даёт 20 % всех изделий, доля брака в A — 10 %, в B — 4 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  2. Партия A даёт 35 % всех изделий, доля брака в A — 6 %, в B — 2 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  3. Партия A даёт 60 % всех изделий, доля брака в A — 5 %, в B — 15 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  4. Партия A даёт 25 % всех изделий, доля брака в A — 4 %, в B — 12 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  5. Партия A даёт 70 % всех изделий, доля брака в A — 3 %, в B — 13 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  6. Партия A даёт 50 % всех изделий, доля брака в A — 12 %, в B — 8 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  7. Партия A даёт 15 % всех изделий, доля брака в A — 20 %, в B — 5 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.
  8. Партия A даёт 80 % всех изделий, доля брака в A — 7 %, в B — 2 %. Найдите вероятность брака при случайном выборе из объединённого потока.

Уровень 2. Две реальные по смыслу партии и точные частоты

В этой серии слово «дефект» означает фактически указанное число изделий, а не ожидаемую долю. Поэтому разрешено прямое сложение дефектных изделий из двух партий.

  1. В A — 60 изделий, из них 6 дефектных; в B — 40 изделий, из них 8 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  2. В A — 80 изделий, из них 4 дефектных; в B — 120 изделий, из них 12 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  3. В A — 150 изделий, из них 15 дефектных; в B — 50 изделий, из них 10 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  4. В A — 45 изделий, из них 9 дефектных; в B — 55 изделий, из них 11 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  5. В A — 20 изделий, из них 1 дефектных; в B — 180 изделий, из них 18 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  6. В A — 72 изделий, из них 9 дефектных; в B — 48 изделий, из них 12 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  7. В A — 125 изделий, из них 5 дефектных; в B — 75 изделий, из них 15 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).
  8. В A — 90 изделий, из них 18 дефектных; в B — 110 изделий, из них 11 дефектных. Равновероятно выбирают одно изделие из всех. Найдите P(дефект).

Уровень 3. Восстановление доли поставщика

Обозначайте s = P(A). Записывайте одно уравнение s × a + (1 − s) × b = общий риск. После решения обязательно проверяйте допустимость s.

  1. Неизвестна доля s поставщика A. Вероятность брака: в A — 5 %, в B — 15 %, по потоку — 9 %. Определите s или объясните, почему она не определяется однозначно.
  2. Неизвестна доля s поставщика A. Вероятность брака: в A — 2 %, в B — 10 %, по потоку — 6 %. Определите s или объясните, почему она не определяется однозначно.
  3. Неизвестна доля s поставщика A. Вероятность брака: в A — 4 %, в B — 20 %, по потоку — 8 %. Определите s или объясните, почему она не определяется однозначно.
  4. Неизвестна доля s поставщика A. Вероятность брака: в A — 20 %, в B — 5 %, по потоку — 11 %. Определите s или объясните, почему она не определяется однозначно.
  5. Неизвестна доля s поставщика A. Вероятность брака: в A — 0 %, в B — 16 %, по потоку — 4 %. Определите s или объясните, почему она не определяется однозначно.
  6. Неизвестна доля s поставщика A. Вероятность брака: в A — 12 %, в B — 12 %, по потоку — 12 %. Определите s или объясните, почему она не определяется однозначно.

Полный ключ к уровню 1

№ Ответ с проверкой / объяснением
1 P = 1/5 × 1/10 + 4/5 × 1/25 = 13/250 = 5.2 %; две группы образуют весь поток.
2 P = 7/20 × 3/50 + 13/20 × 1/50 = 17/500 = 3.4 %; две группы образуют весь поток.
3 P = 3/5 × 1/20 + 2/5 × 3/20 = 9/100 = 9 %; две группы образуют весь поток.
4 P = 1/4 × 1/25 + 3/4 × 3/25 = 1/10 = 10 %; две группы образуют весь поток.
5 P = 7/10 × 3/100 + 3/10 × 13/100 = 3/50 = 6 %; две группы образуют весь поток.
6 P = 1/2 × 3/25 + 1/2 × 2/25 = 1/10 = 10 %; две группы образуют весь поток.
7 P = 3/20 × 1/5 + 17/20 × 1/20 = 29/400 = 7.25 %; две группы образуют весь поток.
8 P = 4/5 × 7/100 + 1/5 × 1/50 = 3/50 = 6 %; две группы образуют весь поток.

Полный ключ к уровню 2

№ Ответ с проверкой / объяснением
1 P(A)=60/100; P(дефект | A)=6/60. После умножения вклад A = 6/100; вклад B = 8/100. Всего 14/100 = 7/50 = 14 %.
2 P(A)=80/200; P(дефект | A)=4/80. После умножения вклад A = 4/200; вклад B = 12/200. Всего 16/200 = 2/25 = 8 %.
3 P(A)=150/200; P(дефект | A)=15/150. После умножения вклад A = 15/200; вклад B = 10/200. Всего 25/200 = 1/8 = 12.5 %.
4 P(A)=45/100; P(дефект | A)=9/45. После умножения вклад A = 9/100; вклад B = 11/100. Всего 20/100 = 1/5 = 20 %.
5 P(A)=20/200; P(дефект | A)=1/20. После умножения вклад A = 1/200; вклад B = 18/200. Всего 19/200 = 19/200 = 9.5 %.
6 P(A)=72/120; P(дефект | A)=9/72. После умножения вклад A = 9/120; вклад B = 12/120. Всего 21/120 = 7/40 = 17.5 %.
7 P(A)=125/200; P(дефект | A)=5/125. После умножения вклад A = 5/200; вклад B = 15/200. Всего 20/200 = 1/10 = 10 %.
8 P(A)=90/200; P(дефект | A)=18/90. После умножения вклад A = 18/200; вклад B = 11/200. Всего 29/200 = 29/200 = 14.5 %.

Полный ключ к уровню 3

№ Ответ с проверкой / объяснением
1 9 = 5s + 15(1 − s); s = (9 − 15)/(5 − 15) = 3/5 = 60 %; проверка 0 ≤ s ≤ 1.
2 6 = 2s + 10(1 − s); s = (6 − 10)/(2 − 10) = 1/2 = 50 %; проверка 0 ≤ s ≤ 1.
3 8 = 4s + 20(1 − s); s = (8 − 20)/(4 − 20) = 3/4 = 75 %; проверка 0 ≤ s ≤ 1.
4 11 = 20s + 5(1 − s); s = (11 − 5)/(20 − 5) = 2/5 = 40 %; проверка 0 ≤ s ≤ 1.
5 4 = 0s + 16(1 − s); s = (4 − 16)/(0 − 16) = 3/4 = 75 %; проверка 0 ≤ s ≤ 1.
6 Любая доля s от 0 до 1 подходит: 12 % = 12 % = 12 %. Уравнение не определяет s единственным образом.

Проверка сложных решений

  1. Результат для двух групп всегда лежит между наименьшей и наибольшей внутренней вероятностью дефекта, если веса неотрицательны.
  2. В задаче с подсчитанными изделиями общая доля дефектов равна (dA + dB)/(nA + nB). Этот результат совпадает с формулой полной вероятности.
  3. Если обе группы имеют одинаковую вероятность брака, никакая информация об общей доле дефектов не позволит однозначно определить долю производства A.
  4. Если требуется процент, не забудьте умножить найденную долю на 100; вероятность и процент не измеряются в штуках.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым