Геометрический смысл производной на графике движения: задачи и решения для 11 класса

Прикладной кейс: как по графику движения узнать скорость в один момент. Горизонтальная ось показывает время t, вертикальная — координату x(t), а не пройденный путь. Наклон касательной к графику координаты равен проекции мгновенной скорости v = x′(t). Положительный наклон означает движение в сторону увеличения координаты, отрицательный — в сторону уменьшения; модуль |v| — скорость без направления.

Модель и таблица исходных данных

Если на прямой касательной отмечены две точки с разностью координат Δx и времени Δt, то v = Δx/Δt. Это работает потому, что берём две точки касательной, а не любые две точки кривого графика движения. Например, Δx = −15 м за Δt = 3 с вдоль касательной даёт v = −5 м/с; тело в рассматриваемый момент направлено против положительной оси, его модуль скорости 5 м/с.

Таблица ниже задаёт 14 независимых ситуаций. В каждой Δt положительно; пары изменений принадлежат касательной в указанной точке. Никакой вывод о всём пройденном пути на интервале Δt из этих значений не делается.

Решите задания по таблице

Для каждого номера выпишите формулу v, выполните деление и укажите единицы. Если v = 0, это остановка в данный момент, а не доказательство того, что тело не двигалось до и после него.

1. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 0 с проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 2 с, Δx = 8 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: движение по прямой.
2. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 2 с проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 3 с, Δx = -6 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: разворот и движение назад.
3. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 5 ч проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 2 ч, Δx = 14 км. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: маршрут на трассе.
4. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 1 с проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 4 с, Δx = 0 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: мгновенная остановка.
5. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 3 мин проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 2 мин, Δx = 9 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: тележка в лаборатории.
6. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 7 ч проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 4 ч, Δx = -20 км. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: движение к исходной точке.
7. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 9 с проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 3 с, Δx = 12 см. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: положение маркера.
8. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 4 с проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 6 с, Δx = -3 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: движение назад.
9. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 6 ч проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 5 ч, Δx = 5 км. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: медленное перемещение.
10. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 12 мин проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 4 мин, Δx = 24 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: движение робота.
11. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 2 мин проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 5 мин, Δx = -10 см. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: движение метки влево.
12. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 8 с проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 4 с, Δx = 6 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: перемещение в сторону +x.
13. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 1 ч проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 6 ч, Δx = -9 км. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: смена направления координаты.
14. На графике координаты x(t) касательная в момент t₀ = 11 мин проходит через две отмеченные на ней точки, для которых Δt = 8 мин, Δx = 0 м. Найдите мгновенную скорость (проекцию скорости) x′(t₀), её модуль и направление движения. Ситуация: мгновенная стоянка.

Два дополнительных вопроса на понимание графика

15. 15. У графика координаты x(t) в момент t₀ горизонтальная касательная. Утверждает ли это, что тело стояло всё время с 0 до t₀? Дайте обоснование.
16. 16. Касательная к графику x(t) убывает, а сама координата x(t₀) положительна. Определите знак мгновенной скорости и объясните, почему он не обязан совпадать со знаком координаты.

Ключ: скорость, её модуль и направление

Пояснения к заданиям 15–16

15. Нет. Например, x(t) = (t − 2)² м при t в секундах имеет в t₀ = 2 с горизонтальную касательную и нулевую мгновенную скорость, но до и после этого момента координата меняется. 16. Скорость отрицательна, потому что касательная убывает. Положительная координата сообщает лишь, по какую сторону от начала отсчёта находится тело, но не куда оно движется.

Сверка единиц и пределов применимости

м/с, км/ч, см/мин — разные единицы, не сравнивайте их числа напрямую без перевода. Например, 3 м/с = 10,8 км/ч; при переводе из м/с в км/ч умножайте на 3,6. Обозначение x′(t) корректно для подписанной координаты; для графика суммарно пройденного пути s(t) наклон при дифференцируемости неотрицателен. Из графика координаты нельзя определять пройденный путь без анализа направлений движения.

Критерии проверки: в каждом из первых 14 заданий один балл за арифметику, один за единицы, один за направление. Задания 15–16 — по два балла за обоснование. Общий максимум 46 баллов. Ключевая ошибка — принимать наклон секущей за мгновенную скорость либо забывать знак проекции.