Графическое пересечение окружности и прямой в простой модели: примеры и объяснения для 8 класса
Цель карточки — определить по рисунку и простому уравнению, в скольких точках прямая встречает окружность, а затем назвать точки пересечения. Рассматриваем всю бесконечную прямую, а не только нарисованный отрезок. Для самостоятельного наброска отметьте оси координат и окружность с центром O(0; 0).
Содержание статьи5 разделов
Диагностика перед заданиями
Ответьте устно: сколько общих точек бывает у прямой и окружности? Что значит «касательная»? Если точка (3; 4) лежит на окружности радиуса 5 с центром в начале координат, какое равенство это подтверждает?
Ожидаемый результат: 0, 1 или 2 общие точки; касательная имеет ровно одну общую точку; 3² + 4² = 5². Если ответ получился другим, прежде повторите прямоугольный треугольник и расстояние от центра до прямой.
Правило одной строки
Окружность с центром (0; 0) и радиусом r задаётся уравнением x² + y² = r². Для горизонтальной прямой y = c нужно найти x² = r² − c². Если правая часть положительна, имеем две точки (x = ±√(r² − c²)); если равна нулю — одну; если отрицательна — ни одной. Для вертикальной x = c роли координат меняются. Расстояние |c| от центра до такой прямой сравнивают с радиусом r.
На чертеже не обязательно точно измерять каждую координату: достаточно сначала сравнить |c| и r. Точные координаты ищите уже вторым действием. У окружности с центром (a; b) используется (x − a)² + (y − b)² = r².
10 заданий для самостоятельной работы
- Радиус 5, прямая y = 3. Сколько пересечений? Назовите координаты.
- Радиус 10, прямая x = −6. Найдите общие точки.
- Радиус 7, прямая y = 7. Определите тип прямой.
- Радиус 4, прямая x = 5. Можно ли показать пересечение?
- Радиус 13, прямая y = −5. Найдите абсциссы пересечений.
- Окружность x² + y² = 81, прямая x = 0. Сколько точек и где?
- Окружность x² + y² = 36, прямая y = −6. Как меняется число точек, если заменить −6 на −7?
- Окружность x² + y² = 25, прямая y = 4. Ученик нашёл точку (4; 3). Верна ли она?
- Центр окружности (2; 1), радиус 5; прямая y = 4. Найдите точки пересечения.
- Центр (−3; 2), радиус 2; прямая x = −5. Назовите число общих точек и координаты.
Проверка по ключу
| № | Результат | Контроль |
|---|---|---|
| 1 | 2 точки | Две: (−4; 3) и (4; 3), потому что x² = 25 − 9 = 16. |
| 2 | 2 точки | Две: (−6; −8) и (−6; 8): y² = 100 − 36 = 64. |
| 3 | 1 точка | Одна точка (0; 7); это касательная: x² = 49 − 49 = 0. |
| 4 | 0 точек | Нет: y² = 16 − 25 = −9, квадрат действительного числа отрицательным не бывает. |
| 5 | 2 точки | x = ±12; точки (−12; −5) и (12; −5), так как 169 − 25 = 144. |
| 6 | 2 точки | Две: (0; −9) и (0; 9). Прямая проходит через центр. |
| 7 | 1 → 0 | При y = −6 одна точка (0; −6), при y = −7 ни одной: расстояние стало больше 6. |
| 8 | Ошибка | Нет: в точке (4; 3) ордината равна 3, а прямая имеет y = 4. Верные точки (−3; 4) и (3; 4). |
| 9 | 2 точки | (−2; 4) и (6; 4): (x − 2)² + (4 − 1)² = 25, значит (x − 2)² = 16. |
| 10 | 1 точка | Одна: (−5; 2), потому что (−5 + 3)² + (y − 2)² = 4 и y = 2. |
Три ошибки, которые легко исправить
- Считают одну точку вместо двух. Из x² = 16 следуют оба значения: x = 4 и x = −4. Исключение — нулевой квадрат.
- Путают окружность и круг. При расстоянии от центра меньше радиуса прямая пересекает именно окружность в двух точках, хотя внутри круга расположен целый отрезок прямой.
- Принимают отрицательное значение квадрата. Равенство y² = −9 не имеет действительных решений: вместо выдуманных координат нужно записать «общих точек нет».
Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.