Графическое решение системы двух линейных уравнений: пошаговые задания для 7 класса

7 класс · мини-тест по графическому решению систем. Здесь нужно не просто вычислить неизвестные, а найти общую точку двух прямых на координатной плоскости. Подготовьте тетрадь в клетку, линейку и карандаш. В заданиях с дробными коэффициентами выбирайте такие значения x, при которых y получается целым.

Как выполнять графическое решение

Прямая — это множество точек, удовлетворяющих одному линейному уравнению. Две прямые изображают два уравнения системы; решением будет пара координат их общей точки. Для построения прямой достаточно двух разных точек. Сначала выразите y через x, если это возможно; затем составьте маленькую таблицу значений и проведите прямую. Для x = 3 изображают вертикальную прямую; для y = 4 — горизонтальную.

Образец: y = x + 1 и y = −x + 5. Для первой прямой можно взять (0; 1) и (2; 3), для второй — (0; 5) и (2; 3). Обе проходят через (2; 3); подстановка даёт 3 = 2 + 1 и 3 = −2 + 5. На точном чертеже решение находится на пересечении; при неточном масштабе координаты желательно подтвердить вычислением.

Тест: выбрать, построить, объяснить

На каждый номер выпишите систему, чертите обе прямые в одной системе координат и запишите ответ как (x; y). Вопрос 1 выполняется без построения. Если точка получилась между клетками, уточните координаты подстановкой.

1. Выбор. На рисунке две прямые пересекаются в точке (−2; 5). Что является решением системы: x = −2; y = 5; упорядоченная пара (−2; 5); любое число между −2 и 5? Объясните выбор.
2. Выбор координат. Для системы y = x + 2; y = −x + 6 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
3. Найдите по графикам. Для системы y = 2x − 1; y = −x + 5 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
4. Вычислите и постройте. Для системы y = 3 − x; y = x − 1 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
5. Найдите по графикам. Для системы y = 0,5x + 1; y = −0,5x + 5 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
6. Найдите по графикам. Для системы x = 3; y = 2x − 4 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
7. Выбор координат. Для системы y = 4; y = −x + 7 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
8. Найдите по графикам. Для системы y = 3x − 2; y = x + 4 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
9. Вычислите и постройте. Для системы y = −2x + 5; y = x − 1 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
10. Найдите по графикам. Для системы y = −x + 4; y = 2x − 2 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
11. Найдите по графикам. Для системы y = 1,5x + 1; y = −0,5x + 5 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
12. Вычислите и постройте. Для системы y = 2x + 1; y = −x − 2 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
13. Найдите по графикам. Для системы y = 0,5x − 1; y = −x + 5 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
14. Найдите по графикам. Для системы y = −x + 1; y = x + 5 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
15. Найдите по графикам. Для системы y = 2x + 4; y = −2x + 4 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.
16. Найдите по графикам. Для системы y = −x − 1; y = 2x + 2 укажите координаты точки пересечения. Постройте каждую прямую по двум точкам (вертикальную — по двум точкам с одинаковой абсциссой); затем проверьте ответ подстановкой.

Лист самопроверки

Сначала сравните только координаты; если ответ не совпал, проверьте две контрольные подстановки. Запись (x; y) нельзя менять местами без проверки.

1. 1. Только упорядоченная пара (−2; 5). Система связывает x и y одновременно; отдельное число не определяет точку.
2. 2. (2; 4). Проверка в обоих уравнениях: 2 + 2 = 4, −2 + 6 = 4.
3. 3. (2; 3). Проверка в обоих уравнениях: 2·2 − 1 = 3, −2 + 5 = 3.
4. 4. (2; 1). Проверка в обоих уравнениях: 3 − 2 = 1, 2 − 1 = 1.
5. 5. (4; 3). Проверка в обоих уравнениях: 0,5·4 + 1 = 3, −0,5·4 + 5 = 3.
6. 6. (3; 2). Проверка в обоих уравнениях: x = 3 и 2·3 − 4 = 2.
7. 7. (3; 4). Проверка в обоих уравнениях: 4 = −3 + 7.
8. 8. (3; 7). Проверка в обоих уравнениях: 3·3 − 2 = 7, 3 + 4 = 7.
9. 9. (2; 1). Проверка в обоих уравнениях: −2·2 + 5 = 1, 2 − 1 = 1.
10. 10. (2; 2). Проверка в обоих уравнениях: −2 + 4 = 2, 2·2 − 2 = 2.
11. 11. (2; 4). Проверка в обоих уравнениях: 1,5·2 + 1 = 4, −0,5·2 + 5 = 4.
12. 12. (−1; −1). Проверка в обоих уравнениях: 2·(−1) + 1 = −1, −(−1) − 2 = −1.
13. 13. (4; 1). Проверка в обоих уравнениях: 0,5·4 − 1 = 1, −4 + 5 = 1.
14. 14. (−2; 3). Проверка в обоих уравнениях: −(−2) + 1 = 3, −2 + 5 = 3.
15. 15. (0; 4). Проверка в обоих уравнениях: 2·0 + 4 = 4, −2·0 + 4 = 4.
16. 16. (−1; 0). Проверка в обоих уравнениях: −(−1) − 1 = 0, 2·(−1) + 2 = 0.

Три частых спорных ответа

«Пара (4; 2) почти совпала с точкой (2; 4)»

Порядок координат принципиален: сначала по горизонтали откладывают x, потом по вертикали — y. Пара (4; 2) описывает другую точку, даже если её числа те же.

«Для прямой x = 3 нужно выразить y»

Выразить y нельзя, и это не ошибка условия. Вся прямая состоит из точек (3; y), где y — любое число. Для её изображения выберите, например, (3; 0) и (3; 2).

«По рисунку видно, поэтому проверка не нужна»

Если линии нарисованы толсто или шкала выбрана неудачно, точка пересечения читается приблизительно. Правильная пара должна одновременно удовлетворять обоим равенствам. Так можно обнаружить ошибку чертежа.

Оценивание: 1 балл за каждый из 16 номеров; в заданиях 2–16 засчитывайте ответ только при корректно найденной точке и двух проверках. Для проверки навыка достаточно 13–16 баллов; при меньшем результате разберите перевод уравнений в таблицы значений.