Графическое решение уравнения с параметром через число пересечений: задания от простого к сложному, 10 класс

Практическая задача: сколько решений даёт горизонтальная прямая?

Решить уравнение f(x)=a графически — значит провести горизонтальную прямую y=a и сосчитать точки её пересечения с графиком y=f(x). Каждая точка имеет свою абсциссу x, то есть один корень. Касание в вершине даёт один корень, а не два; выколотая точка и запрещённая абсцисса не считаются. Параметр a — высота прямой, а не координата x.

Два метода на одном примере

Для x²−4=a можно провести линию y=a и посчитать пересечения с параболой: ниже вершины (a<−4) — ноль, в вершине (a=−4) — одно, выше — два. Второй метод — алгебраический: x²=a+4, действительные x есть только при a+4≥0. Оба метода дают одно и то же правило, но график быстрее показывает, почему изменяется число корней.

Ещё два рисунка для распознавания граничных высот

У W-образного графика есть две точки минимума на высоте 0 и локальный максимум посередине на высоте 1. При 0<a<1 горизонтальная линия проходит через четыре ветви; при a=1 две средние точки сливаются в одну, поэтому пересечений остаётся три.

Задания от простого к сложному

Для каждого заданного значения a укажите число различных действительных решений и, если их немного, сами корни. Сначала предскажите число по форме графика, затем проверьте алгебраически. Значения параметра в задании уже зафиксированы; нельзя выбирать другое a.

Уровень 1 — парабола и модуль

1. Определите число корней уравнения x²−4=a при a=−5.
2. Определите число корней уравнения x²−4=a при a=−4.
3. Определите число корней уравнения x²−4=a при a=5.
4. Определите число корней уравнения |x−2|=a при a=0.
5. Определите число корней уравнения |x−2|=a при a=3.
6. Определите число корней уравнения |x−2|=a при a=−2.

Уровень 2 — смещённая вершина, гипербола и корень

7. Определите число корней уравнения −(x+1)²+3=a при a=3.
8. Определите число корней уравнения −(x+1)²+3=a при a=4.
9. Определите число корней уравнения −(x+1)²+3=a при a=1.
10. Определите число корней уравнения 1/(x−2)=a при a=0.
11. Определите число корней уравнения 1/(x−2)=a при a=−2.
12. Определите число корней уравнения √(x+2)=a при a=0.
13. Определите число корней уравнения √(x+2)=a при a=−1.

Уровень 3 — W-образная функция

14. Определите число корней уравнения (x²−1)²=a при a=0.
15. Определите число корней уравнения (x²−1)²=a при a=1.
16. Определите число корней уравнения (x²−1)²=a при a=1/4.

Проверенные решения и число пересечений

1. Ни одного: x²=−1 невозможно над действительными числами.
2. Одно: x²=0, x=0; прямая касается вершины.
3. Два: x²=9, x=−3 и x=3.
4. Одно: x=2, вершина V-образного графика.
5. Два: x−2=±3, x=−1 и x=5.
6. Ни одного: модуль неотрицателен.
7. Одно: (x+1)²=0, x=−1 — вершина.
8. Ни одного: максимум левой части равен 3.
9. Два: (x+1)²=2, x=−1±√2.
10. Ни одного: числитель равен 1 и дробь не бывает нулевой; x≠2.
11. Одно: x−2=−1/2, то есть x=3/2 (x≠2 выполняется).
12. Одно: x+2=0, x=−2; ОДЗ x≥−2.
13. Ни одного: арифметический квадратный корень неотрицателен.
14. Два: x²−1=0, x=−1 и x=1.
15. Три: x²−1=±1; из x²=2 получаем ±√2, из x²=0 получаем 0.
16. Четыре: x²−1=±1/2; x=±√(3/2) и x=±√(1/2).

Как подбирать параметр, если его значение ещё неизвестно

Вместо фиксированного числа a иногда спрашивают: при каких a уравнение имеет ровно одно решение? Для x²−4=a ответ a=−4. Для |x−2|=a единственное пересечение получается при a=0. Для функции −(x+1)²+3 критический уровень — a=3. А у 1/(x−2)=a для каждого a≠0 ровно одно решение x=2+1/a, тогда как при a=0 нет ни одного: горизонтальная асимптота не пересекает ветви.

Если график содержит несколько экстремумов, как W-кривая (x²−1)², нужно выделить все высоты, на которых меняется число пересечений. Здесь 0 и 1 — критические значения: при a<0 решений нет; при a=0 решений два; при 01 — два. Граничные случаи требуют отдельной проверки, а корни в точке касания не считают дважды.

Где теряется решение: сравнение двух подходов

Распространённая ошибка в №15 — ответ «четыре»: при a=1 два внутренних пересечения W-кривой совпадают в x=0. В №10 нуль по высоте не достигается графиком 1/(x−2), даже если ветвь приближается к оси Ox. В №12 корень допустим: x=−2 является границей области определения, но функция там определена. В задачах со знаком корня проверка неотрицательности обязательна до возведения в квадрат.