График функции по таблице знаков производной для 11 класса — упражнения с разбором

Проверочная: построение возможного графика функции по таблице знаков f′. Таблица знаков определяет, где график f идёт вверх или вниз, а также абсциссы некоторых экстремумов. Она не определяет единственную форму графика, его значения по оси Oy и высоты экстремумов. Нужно изобразить качественный эскиз, а не точную кривую.

Правило перед началом

На промежутке с f′ > 0 ведите линию вверх вправо (↗), с f′ < 0 — вниз вправо (↘). Переход ↗ ↘ даёт локальный максимум, ↘ ↗ — локальный минимум. Если знак сохраняется, только f′ = 0 само по себе не требует поворота. Во всех задачах f дифференцируема внутри промежутка, указанные внутренние граничные точки — нули производной, на открытых участках знаки строго заданы. Для удобства считайте f непрерывной на всём рассматриваемом замкнутом отрезке.

Первые шесть: простой эскиз и проверка направления

Начните в произвольной высоте на оси Oy, соблюдайте знаки по порядку. Не соединяйте конечную точку с начальной, если этого не требует условие: график функции не обязан быть замкнутым.

1. Таблица 1. -3 < x < 0: f′ +; 0 < x < 4: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
2. Таблица 2. -2 < x < 1: f′ −; 1 < x < 5: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
3. Таблица 3. 0 < x < 2: f′ +; 2 < x < 6: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
4. Таблица 4. -4 < x < -1: f′ −; -1 < x < 2: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
5. Таблица 5. 0 < x < 1: f′ +; 1 < x < 3: f′ −; 3 < x < 5: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
6. Таблица 6. -3 < x < -1: f′ −; -1 < x < 1: f′ +; 1 < x < 4: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?

Номера 7–12: несколько экстремумов и стационарные перегибы

В случаях «+ → +» или «− → −» при нулевой производной возможна горизонтальная касательная без максимума и минимума. Покажите на рисунке, что линия продолжает идти в прежнем направлении. Проверяйте каждую внутреннюю границу соседних знаков.

7. Таблица 7. -2 < x < 0: f′ +; 0 < x < 2: f′ +; 2 < x < 6: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
8. Таблица 8. 0 < x < 2: f′ −; 2 < x < 3: f′ −; 3 < x < 7: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
9. Таблица 9. -4 < x < -2: f′ +; -2 < x < 0: f′ −; 0 < x < 2: f′ +; 2 < x < 6: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
10. Таблица 10. 0 < x < 1: f′ −; 1 < x < 3: f′ +; 3 < x < 4: f′ −; 4 < x < 6: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
11. Таблица 11. -6 < x < -3: f′ −; -3 < x < 0: f′ +; 0 < x < 3: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
12. Таблица 12. -1 < x < 0: f′ +; 0 < x < 2: f′ −; 2 < x < 5: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?

Номера 13–18: проверочная повышенной сложности

Здесь встречаются три и четыре последовательных промежутка. Сначала запишите последовательность стрелок, потом нарисуйте кривую. Не пытайтесь угадать точную крутизну между стационарными точками: знак производной не сообщает её числовое значение.

13. Таблица 13. -3 < x < 0: f′ +; 0 < x < 1: f′ −; 1 < x < 4: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
14. Таблица 14. -5 < x < -3: f′ −; -3 < x < 1: f′ −; 1 < x < 3: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
15. Таблица 15. 1 < x < 2: f′ +; 2 < x < 4: f′ +; 4 < x < 5: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
16. Таблица 16. -2 < x < -1: f′ −; -1 < x < 3: f′ +; 3 < x < 6: f′ +; 6 < x < 8: f′ −. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
17. Таблица 17. 0 < x < 1: f′ +; 1 < x < 2: f′ −; 2 < x < 3: f′ −; 3 < x < 4: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?
18. Таблица 18. -4 < x < -2: f′ −; -2 < x < 1: f′ +; 1 < x < 5: f′ −; 5 < x < 7: f′ +. Во внутренних граничных точках f′ = 0. Нарисуйте один возможный качественный эскиз графика f, отметьте направление изменения и точки строгих локальных экстремумов. Можно ли по этим данным определить f(0), если 0 входит в отрезок?

Ключ и критерии проверочной

Как читать полученный эскиз

По таблице можно обоснованно назвать интервалы возрастания и убывания, а также найти точки смены направления. Однако не следует приписывать максимуму число 5 или минимуму число −2, если в условии не дано значение f в какой-либо точке. Более того, даже при одном известном значении f(x₀) одна лишь таблица знаков не устанавливает точных ординат других точек. Например, функции f и f + 100 имеют одинаковую производную и один и тот же набор направлений, но совершенно разные высоты графиков.

Пример проверочного обоснования: если таблица содержит + на (−2; 1) и − на (1; 4), то любой согласующийся график поднимается до x = 1 и затем опускается. Поэтому в x = 1 расположен строгий локальный максимум. Чтобы изобразить один из возможных графиков, можно использовать гладкую дугу, растущую до этой точки и убывающую после неё. Единственного правильного масштаба по вертикали нет.

Оценивание: 3 балла за упражнение — один за последовательность стрелок, по одному за правильное указание максимумов и минимумов (в том числе ответ «нет»). 54 балла всего. При рисовании достаточно качественного эскиза: точные ординаты не оцениваются. Во всех заданиях ответ на вопрос о f(0) без дополнительных данных: нет, не определяется.