График погашения долга по заданным условиям для 11 класса — упражнения с разбором

Рабочий лист «Ошибки и исправления» — 11 класс. Учебная модель погашения долга: одинаковые доли основной суммы в каждом месяце, процент на остаток в начале месяца, фиксированная месячная ставка. При отсутствии досрочных взносов основной долг уменьшается строго по плану. Это не аннуитетный график: полный платёж уменьшается от месяца к месяцу. Все расчёты в рублях, проценты представлены денежными величинами в рублях, а не процентными пунктами.

Краткое правило

Для P руб. на n месяцев q=P/n — ежемесячная доля основного долга. Если B — остаток на начало месяца, а r — ставка в долях единицы за месяц, то проценты I=B·r, платёж M=q+I, новый остаток B−q. При необходимости последний платёж корректируют на фактический остаток. В данной подборке все P кратны n, так что округление доли не требуется.

Шесть неверных решений: найдите и исправьте ошибку

1. Для долга 60 000 руб. на 3 месяца под 1% ежемесячно Иван написал: «Каждый месяц начисляют 600 руб. процентов». В чём ошибка: __________________
2. Мария для того же примера сначала вычла 20 000 руб. долга, а уже затем начислила проценты за первый месяц: 400 руб. В чём ошибка: __________________
3. Записано: «Первый месячный платёж равен 20 000 руб., ведь это ежемесячная доля кредита». В чём ошибка: __________________
4. Ученик посчитал остаток после первого месяца как 60 000−20 600=39 400 руб. В чём ошибка: __________________
5. У третьего месяца остаток на начало 20 000 руб.; ученик записал проценты 0, потому что этот месяц последний. В чём ошибка: __________________
6. Ученик сложил три платежа 20 600+20 400+20 200=61 200 и сделал вывод: «Исходный долг вырос до 61 200 руб.». В чём ошибка: __________________

Ключ к шести ошибкам

1. №1. Проценты зависят от остатка на начало периода: 600, 400, 200 руб. Общая сумма 1200 руб., а не 1800 руб.
2. №2. В модели проценты вычисляют до погашения основного долга в данном месяце: за первый месяц 60 000·1%=600 руб. После платежа остаётся 40 000 руб.
3. №3. Нужно прибавить проценты за период: 20 000+600=20 600 руб. Платёж состоит из доли основного долга и процентов.
4. №4. Из остатка долга вычитают только погашаемый основной долг, не проценты: 60 000−20 000=40 000 руб.
5. №5. Последний месяц не освобождает от процентов. Начисление 20 000·1%=200 руб.; общий третий платёж 20 200 руб.
6. №6. Основной долг по-прежнему 60 000 руб.; разница 1200 руб. — оплата процентов. Суммарные выплаты = долг + проценты.

Как выглядит правильно заполненный график

Контроль результата: основной долг 20 000·3=60 000 руб.; проценты 600+400+200=1200 руб.; сумма платежей 61 200 руб. Остаток в последней строке нулевой. Такой контроль выявляет забытый процент или двойной учёт долга.

Восемь самостоятельных графиков

1. 1. Сумма долга 60 000,00 руб., 3 равных месячных долей основного долга, ставка 1% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
2. 2. Сумма долга 80 000,00 руб., 4 равных месячных долей основного долга, ставка 0,5% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
3. 3. Сумма долга 90 000,00 руб., 3 равных месячных долей основного долга, ставка 2% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
4. 4. Сумма долга 120 000,00 руб., 6 равных месячных долей основного долга, ставка 1% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
5. 5. Сумма долга 50 000,00 руб., 5 равных месячных долей основного долга, ставка 1,5% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
6. 6. Сумма долга 180 000,00 руб., 6 равных месячных долей основного долга, ставка 0,75% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
7. 7. Сумма долга 160 000,00 руб., 4 равных месячных долей основного долга, ставка 1,25% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________
8. 8. Сумма долга 210 000,00 руб., 7 равных месячных долей основного долга, ставка 0,8% за месяц. Заполните таблицу: начальный остаток, проценты, погашение долга, полный платёж и конечный остаток в каждом месяце. Запишите итоговую переплату. Таблица: ____________________

Полные таблицы ответов

№1. Месячная доля долга q=20 000,00 руб.

Начислено процентов: 1 200,00 руб.; всего уплачено 61 200,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 60 000,00 руб.

№2. Месячная доля долга q=20 000,00 руб.

Начислено процентов: 1 000,00 руб.; всего уплачено 81 000,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 80 000,00 руб.

№3. Месячная доля долга q=30 000,00 руб.

Начислено процентов: 3 600,00 руб.; всего уплачено 93 600,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 90 000,00 руб.

№4. Месячная доля долга q=20 000,00 руб.

Начислено процентов: 4 200,00 руб.; всего уплачено 124 200,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 120 000,00 руб.

№5. Месячная доля долга q=10 000,00 руб.

Начислено процентов: 2 250,00 руб.; всего уплачено 52 250,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 50 000,00 руб.

№6. Месячная доля долга q=30 000,00 руб.

Начислено процентов: 4 725,00 руб.; всего уплачено 184 725,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 180 000,00 руб.

№7. Месячная доля долга q=40 000,00 руб.

Начислено процентов: 5 000,00 руб.; всего уплачено 165 000,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 160 000,00 руб.

№8. Месячная доля долга q=30 000,00 руб.

Начислено процентов: 6 720,00 руб.; всего уплачено 216 720,00 руб.. Проверка: конечный остаток равен нулю, сумма основного долга по строкам = 210 000,00 руб.

Правила проверки графиков

• Столбец остатков должен убывать; проценты при положительной ставке также уменьшаются, поскольку база процентов падает.
• Сумма всех погашений основного долга должна равняться сумме кредита до копейки.
• Итоговая сумма всех платежей равна исходному долгу плюс сумма процентов, потому что в задачах нет комиссий.
• Не смешивайте месяц и год: если ставка указана как месячная, дополнительно делить её на 12 нельзя.
• Если в реальном договоре применяется аннуитет, правила распределения основного долга и процентов будут другими; не пытайтесь использовать эту таблицу как выписку конкретного банка.

Критерии проверки: 1 балл за исправление каждого из шести неверных решений, а за каждый самостоятельный график — 1 за каждое корректное начисление процентов и 1 за итоговые значения и остатки. В задачах с ошибкой одинаково важно указать ошибочный шаг и корректное объяснение, а не только получить окончательную сумму.