Группировка слагаемых при разложении многочлена — упражнения для печати, 7 класс

7 класс · Алгебра · Материал для распечатки

Разложение многочленов группировкой: исправление чужих решений, самостоятельный практикум и контроль.

Содержание статьи11 разделов

Сначала обнаружь неправильную группировку

Когда у всех слагаемых нет общего множителя, можно объединить их попарно, вынести множитель внутри каждой пары и получить одинаковую скобку. Например, ax + ay + 2x + 2y = a(x + y) + 2(x + y) = (a + 2)(x + y). Проверка — обратное раскрытие скобок. Если одинаковые скобки отличаются только порядком слагаемых, можно воспользоваться переместительным свойством сложения; если знаком, нужно очень внимательно вынести минус.

Печатный практикум состоит из четырёх этапов. Сперва нужно решить, ошибочно ли предложенное равенство; затем исправить неверные цепочки; после этого разложить новые многочлены и пройти короткий контроль. Каждую новую запись полезно оформлять в две строки: группировка → общая скобка → произведение.

Рассмотрим, почему равенство иногда выглядит убедительно, хотя неверно: из 2x² + 6x + x + 3 действительно получаются пары 2x(x + 3) и 1(x + 3). Поэтому правильный результат — (2x + 1)(x + 3). Если в ответе внезапно появилась скобка (x + 2), можно сразу проверить свободный член: справа он равен 2, а слева 3. Такой контроль экономит время, но не заменяет полного раскрытия скобок.

Сложный случай с минусом: 3m² − 6m + 5m − 10 = 3m(m − 2) + 5(m − 2) = (3m + 5)(m − 2). Переход к (m + 2) неверен, потому что при раскрытии скобок свободный член станет +10 вместо −10. Полезно подчеркивать общую скобку одинаковым знаком в обеих группах; если выражения противоположны, нужно сначала вынести минус.

Часть для ученика

Этап I. Семь экспертных заключений

Обозначь каждое равенство как «верно» или «ошибка» и коротко поясни, что произошло. В этой группе есть ровно одно полностью верное утверждение. Не спеши менять знак: сначала сравни раскрытие предложенных скобок с левой частью.

  1. Проверь тождество: x² + 4x + 3x + 12 = (x + 4)(x + 2).
  2. Проверь тождество: 2a² + 6a + a + 3 = (2a + 1)(a + 2).
  3. Проверь тождество: 3m² − 6m + 5m − 10 = (3m + 5)(m + 2).
  4. Проверь тождество: xy + 2x − 5y − 10 = (x − 5)(y − 2).
  5. Проверь тождество: 4p² + 12p − p − 3 = (4p + 1)(p + 3).
  6. Проверь тождество: 2u² − 8u + 3u − 12 = (2u + 3)(u + 4).
  7. Проверь тождество: ab + 2a + 3b + 6 = (a + 3)(b + 2).

Этап II. Исправь и объясни

Задания 8–14 возвращают к тем же строкам, но теперь нужны полные правильные равенства. Укажите две пары и общий множитель каждой пары: это позволяет увидеть, действительно ли получилась одна и та же скобка.

  1. Перепиши без ошибки пример № 1: x² + 4x + 3x + 12.
  2. Перепиши без ошибки пример № 2: 2a² + 6a + a + 3.
  3. Перепиши без ошибки пример № 3: 3m² − 6m + 5m − 10.
  4. Перепиши без ошибки пример № 4: xy + 2x − 5y − 10.
  5. Перепиши без ошибки пример № 5: 4p² + 12p − p − 3.
  6. Перепиши без ошибки пример № 6: 2u² − 8u + 3u − 12.
  7. Перепиши без ошибки пример № 7: ab + 2a + 3b + 6.

Этап III. Десять самостоятельных разложений

Реши без подсказки. В отдельных примерах полезно поменять порядок слагаемых, прежде чем объединять их попарно. Результат запиши произведением двух двучленов и проверь обратным умножением.

  1. Разложи: x² + 5x + 2x + 10.
  2. Разложи: 3a² + 6a + 4a + 8.
  3. Разложи: 2m² − 8m + 3m − 12.
  4. Разложи: xy + 6x + 2y + 12.
  5. Разложи: 5p² + 10p − 3p − 6.
  6. Разложи: 4u² − 4u + 7u − 7.
  7. Разложи: 6x² + 9x − 4x − 6.
  8. Разложи: ab − 3a + 2b − 6.
  9. Разложи: 2y² + 14y − y − 7.
  10. Разложи: 8z² − 12z + 2z − 3.

Этап IV. Контроль без образца

  1. Можно ли сгруппировать x² + 2x + 3x + 6 так, чтобы получить общий двучлен? Найди разложение.
  2. Переставь два средних слагаемых у 3a² + 6a + 2a + 4 и разложи на множители.
  3. Укажи, почему x² + 4x + 2x + 9 нельзя разложить простым разбиением на пары (x² + 4x) и (2x + 9) с одинаковыми скобками.
  4. Проверь результат (2m + 5)(m − 3) обратным раскрытием и запиши полученный многочлен.

Как сдавать. В первом этапе достаточно короткого вердикта; во втором и третьем обязательны промежуточные скобки; на контроль допускается писать только полные преобразования. Время можно распределить как 7 + 10 + 15 + 5 минут, а трудные номера оставить для второго прохода.

Ответы и решения — для учителя и самостоятельной проверки

Этап I — где именно ошибка

  1. Ошибка: правильно x² + 4x + 3x + 12 = (x + 4)(x + 3).
  2. Ошибка: правильно 2a² + 6a + a + 3 = (2a + 1)(a + 3).
  3. Ошибка: правильно 3m² − 6m + 5m − 10 = (3m + 5)(m − 2).
  4. Ошибка: правильно xy + 2x − 5y − 10 = (x − 5)(y + 2).
  5. Ошибка: правильно 4p² + 12p − p − 3 = (4p − 1)(p + 3).
  6. Ошибка: правильно 2u² − 8u + 3u − 12 = (2u + 3)(u − 4).
  7. Верно. ab + 2a + 3b + 6 = (a + 3)(b + 2)

Этап II — исправленные тождества

  1. x² + 4x + 3x + 12 = (x + 4)(x + 3).
  2. 2a² + 6a + a + 3 = (2a + 1)(a + 3).
  3. 3m² − 6m + 5m − 10 = (3m + 5)(m − 2).
  4. xy + 2x − 5y − 10 = (x − 5)(y + 2).
  5. 4p² + 12p − p − 3 = (4p − 1)(p + 3).
  6. 2u² − 8u + 3u − 12 = (2u + 3)(u − 4).
  7. ab + 2a + 3b + 6 = (a + 3)(b + 2).

Этап III — ответы и проверочные разложения

  1. x² + 5x + 2x + 10 = (x + 2)(x + 5); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  2. 3a² + 6a + 4a + 8 = (3a + 4)(a + 2); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  3. 2m² − 8m + 3m − 12 = (2m + 3)(m − 4); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  4. xy + 6x + 2y + 12 = (x + 2)(y + 6); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  5. 5p² + 10p − 3p − 6 = (5p − 3)(p + 2); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  6. 4u² − 4u + 7u − 7 = (4u + 7)(u − 1); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  7. 6x² + 9x − 4x − 6 = (3x − 2)(2x + 3); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  8. ab − 3a + 2b − 6 = (a + 2)(b − 3); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  9. 2y² + 14y − y − 7 = (2y − 1)(y + 7); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.
  10. 8z² − 12z + 2z − 3 = (4z + 1)(2z − 3); раскрытие скобок возвращает четыре исходных члена.

Этап IV — контроль

  1. (x + 2)(x + 3).
  2. (3a + 2)(a + 2).
  3. Первая пара = x(x + 4), вторая = 2x + 9; общая скобка (x + 4) не возникает. Это не доказывает невозможность любого разложения, а лишь показывает неудачность указанной группировки.
  4. 2m² − m − 15.

Что означает ошибка. Если ученик получил разные скобки после вынесения множителей, нужно искать другую группировку или проверить знаки. Если скобки совпали, но коэффициент второго множителя неправильный, полезно сделать обратную проверку: раскрыть итоговое произведение, расставив четыре промежуточных члена напротив исходного многочлена. Самая частая ловушка — неверно вынесенный минус; сравнение −2(x − 3) и 2(3 − x) помогает понять, когда знаки обязаны измениться.

Для повторения выбери два номера с переменными a, b и два со старшими членами второй степени. Объясни, почему группировка применима не ко всякому многочлену и почему не стоит заявлять, что разложения нет, лишь потому что первое выбранное разбиение не сработало. Проверка раскрытием скобок является обязательным заключительным шагом.

Если кажется, что получается неверный ответ, выдели исходные четыре члена, проверь две пары и сравни выражения в скобках посимвольно. При попытке группировать члены другим способом возможны различные промежуточные строки, но итоговые произведения должны быть тождественно равны. Это не соревнование на угадывание готовой формулы: смысл метода — получить один общий двучлен из двух корректных группировок.
Поделиться

Сохраните материал или отправьте тому, кому он пригодится.

Telegram WhatsApp VK OK

Поставить оценку

Была ли статья полезной и понятной?

Пока нет оценок — будьте первым