Исключение запрещённых сочетаний по дереву из трёх последовательных решений — тематические карточки для 6 класса

Тематические карточки, 6 класс. Здесь выполняются три последовательных решения, и каждую конечную цепочку считают отдельным исходом. Два варианта отличаются исходными ветвями и способом проверки: в А удобно последовательно вычёркивать запрещённые листья, в Б — пересчитывать допустимые листья по ветвям дерева. Запрет одной полной цепочки не означает запрета её первого или второго шага целиком.

Вариант А. Три решения: буква, цифра, знак

На первом шаге выбирают А или Б; на втором — 1, 2 или 3; на третьем — х или у. Запрещённые полные пути: А2у и Б3х. Другие цепочки, включая А2х и Б3у, разрешены. Схему читают слева направо: первая ветвь → вторая → третья.

1. Сколько полных цепочек получится без ограничений? Запишите произведение числа ветвей.
2. Сколько разрешённых конечных цепочек останется после двух запретов?
3. Назовите все допустимые пути, начинающиеся на А.
4. Назовите все допустимые пути, начинающиеся на Б.
5. Выпишите все разрешённые конечные пути с цифрой 2 на втором шаге.
6. Ученик вычеркнул сразу А2х и А2у. Почему это ошибка?
7. Какой один разрешённый путь оканчивается буквой у и имеет первый шаг Б, второй шаг 3?
8. Сравните число путей до и после запретов. Сколько именно листьев исчезло?
9. Почему в дереве нельзя одновременно вычесть ветвь А2 целиком и ещё раз путь А2у?

Вариант Б. Выбор секции, маршрута и времени

Первый выбор — К, Л или М; второй — p или q; третий — 0 или 1. Нельзя выбирать три полных сочетания: Кp1, Лq0, Мq1. Рассмотрите дерево как три большие ветви К, Л, М. На каждом втором шаге обычно по два листа. Доказательство выполняйте суммой по первым ветвям, а не только одной формулой.

10. Сколько всего полных путей до запретов? Укажите число вариантов на каждом шаге.
11. Сколько вариантов осталось после запрета трёх названных полных цепочек?
12. Перечислите разрешённые пути внутри ветви К.
13. Перечислите разрешённые пути внутри ветви Л.
14. Перечислите разрешённые пути внутри ветви М.
15. Ученик получил 3 + 2 + 2 = 7. Какую ошибку в подсчёте разрешённых листьев он допустил?
16. Сколько допустимых путей заканчивается 1? Обоснуйте по начальным ветвям.
17. Как изменится число допустимых путей, если запрет Кp1 отменят, а остальные сохранят?
18. Назовите все допустимые пути с серединой q и проверьте, что три первоначальных запрета учтены без повторов.

Взаимная проверка двух способов

Вариант А проверяется общим списком: 12 возможных листьев, два явно вычеркнуты, десять уникальных остались. Вариант Б проверяется суммой разрешённых листьев первых ветвей: по три в К, Л и М, всего девять. Если способ «исходное число минус запрещённые» и подсчёт по ветвям дали разные ответы, пересмотрите, не вычеркнута ли ветвь вместо отдельного листа. Так можно обнаружить пропуск ещё до чтения ключа.

Ключ для самопроверки

Вариант А: ответы 1–9

1. 2 × 3 × 2 = 12 полных цепочек.
2. 12 − 2 = 10, поскольку исключены два разных существовавших листа.
3. А1х, А1у, А2х, А3х, А3у. Всего пять: одна из шести цепочек с первой А запрещена.
4. Б1х, Б1у, Б2х, Б2у, Б3у. Всего пять: одна из шести цепочек с первой Б запрещена.
5. А2х, Б2х, Б2у. Всего три разрешённых: А2у исключена.
6. Запрещён только конечный путь А2у. Путь А2х по условию разрешён, удалять всю ветвь А2 нельзя.
7. Б3у. Другой путь Б3х запрещён, но не влияет на Б3у.
8. Ровно два из двенадцати листьев: А2у и Б3х. Десять остались.
9. Путь А2у принадлежит ветви А2; удаление целой ветви убирает также допустимый А2х, а дополнительное вычитание А2у вообще учитывает запрет повторно.

Вариант Б: ответы 10–18

10. 3 × 2 × 2 = 12 до запретов.
11. 12 − 3 = 9. Также 3 + 3 + 3 = 9 после проверки каждой главной ветви.
12. Кp0, Кq0, Кq1. Здесь три разрешённых листа, запрещён Кp1.
13. Лp0, Лp1, Лq1. Здесь три разрешённых листа, запрещён Лq0.
14. Мp0, Мp1, Мq0. Здесь три разрешённых листа, запрещён Мq1.
15. Каждая из трёх главных ветвей изначально содержит 2 × 2 = 4 листа и теряет по одному, поэтому 3 + 3 + 3 = 9, не 7.
16. Из шести путей с концом 1 удалены Кp1 и Мq1. Значит, осталось 4: Кq1, Лp1, Лq1, Мp1.
17. Вернётся один запрещённый ранее лист Кp1; стало бы 10. Другие два запрета не меняются.
18. Допустимы Кq0, Кq1, Лq1, Мq0. Изначально 3 × 2 = 6 путей с серединой q, удалены Лq0 и Мq1, осталось 4.

Неочевидный случай: когда запрещают не полный трёхшаговый путь, а, например, второй выбор p при первом К, запрет касается сразу Кp0 и Кp1, то есть двух листьев. Это не то же самое, что запрет одной конкретной цепочки Кp1. В этой карточке все запреты формулируются полными трёхсимвольными маршрутами, потому каждый названный запрет удаляет ровно один лист дерева.