Исключение запрещённых сочетаний при условии «один вариант нельзя» — математический практикум для 6 класса

Прикладная задача с данными, 6 класс. На школьной мастерской ученики выбирают один материал и одну форму сувенира. Каждая пара «материал + форма» считается отдельным вариантом. Учитель сообщил, что только сочетание «фетр + дом» использовать нельзя из-за недостаточного количества фетра. Нужно составлять полные списки, проверять, что исключён именно один вариант, и отвечать на вопросы по исходным данным.

Исходные данные мастерской

Математическая модель: 4 материала × 3 формы = 12 пар. Запрет относится к одной клетке, а не ко всем изделиям из фетра или ко всем домикам. Поэтому 12 − 1 = 11 разрешённых вариантов. Чтобы убедиться в полноте, подсчитайте по строкам: 3 + 3 + 2 + 3 = 11.

Двенадцать связанных вопросов по одной таблице

1. Сколько всего сочетаний было бы без запрета? Укажите два множителя.
2. Сколько допустимых сочетаний остаётся после запрета? Подтвердите ответ суммой по материалам.
3. Перечислите все разрешённые сувениры из фетра.
4. Сколько вариантов с формой «дом» можно выбрать и из каких материалов?
5. Можно ли сделать «фетр + звезда»? Объясните, почему запрет не действует на эту пару.
6. Ученик вычеркнул весь столбец «дом». Сколько вариантов он потерял сверх необходимого и какие именно?

Переход от таблицы к проверке модели

Строка «фетр» содержит две доступные клетки, а каждый другой материал — три. Это позволяет проверить ответ двумя независимыми методами. Суммирование строк даёт 3 + 3 + 2 + 3. Подсчёт всех возможных пар с последующим удалением запрета даёт 4 × 3 − 1. Оба способа должны привести к одному результату; если получились разные числа, ошибка есть в таблице или в трактовке запрета.

7. Если учитель попросит сделать сувенир только из бумаги или картона, сколько допустимых разных пар доступно?
8. Если форму заранее выбрали «лист», сколько материалов можно использовать?
9. Сколько допустимых вариантов использует ткань либо фетр? Не считайте одну пару дважды.
10. Один ученик составил список из 11 строк, но повторил «бумага + дом» и пропустил «ткань + звезда». Полон ли список?
11. Как изменится итог, если к трём формам добавят четвёртую «круг», а запрет «фетр + дом» останется единственным?
12. Составьте полный перечень разрешённых вариантов и проверьте, что в нём нет запрещённой пары.

Решения, ключ и проверка разумности

1. 4 × 3 = 12 сочетаний: по три формы для каждого из четырёх материалов.
2. Разрешены 11: по строкам 3 + 3 + 2 + 3 = 11; так же 12 − 1 = 11.
3. Фетр + звезда и фетр + лист: два варианта. Фетр + дом — единственное исключение.
4. Три: бумага + дом, картон + дом, ткань + дом; материал «фетр» в этом столбце исключён.
5. Да. Запрещена конкретно пара «фетр + дом», но не весь ряд «фетр».
6. Вместе с запрещённой парой ученик вычеркнул три разрешённые: бумага + дом, картон + дом и ткань + дом. Он потерял три допустимых варианта сверх запрета; получившийся список из 8 был бы неполным.
7. Бумага: 3 формы, картон: 3 формы. Всего 6; запрет с фетром не влияет.
8. «Лист» можно сделать из всех четырёх материалов: 4 варианта.
9. Фетр даёт 2, ткань — 3; разные материалы не пересекаются. Итого 5.
10. Нет. Несмотря на 11 строк, одна дублируется, а «ткань + звезда» отсутствует. Для полноты нужны ровно 11 различных разрешённых пар.
11. Новых форм 4, исходных пар 4 × 4 = 16, запрещена одна; останется 15. Добавилось по одному варианту каждого материала, то есть на четыре больше прежних 11.
12. Полный перечень: бумага + звезда; бумага + дом; бумага + лист; картон + звезда; картон + дом; картон + лист; фетр + звезда; фетр + лист; ткань + звезда; ткань + дом; ткань + лист. Всего 11 различных вариантов без «фетр + дом».

Для проверки разумности ответ должен быть не больше 12, пока в условии остаются четыре материала и три формы. В вопросе 11 появляется ещё одна форма, поэтому предел изменяется до 16. Если в вопросе 9 вычесть один запрещённый фетровый дом из суммы 2 + 3 повторно, получится неверное 4: фетровый запрет уже учтён в числе «2». Отвечать следует исходя из данных, а не автоматически вычитать единицу при каждом вопросе.

Самостоятельное обобщение: когда меняется список форм или материалов, сначала заново пересчитайте исходное количество возможных пар. Только потом проверьте, существует ли тот же запрещённый вариант и остаётся ли он единственным. Сходные названия предметов не превращают две разные комбинации в одну; каждая пара определяется сразу обоими признаками.