Исключение запрещённых сочетаний в задаче с различающимися маршрутами — самостоятельная работа, 6 класс

Самостоятельная работа по комбинаторике, 6 класс. Маршрут — это последовательность конкретно выбранных дорог. Даже когда две дороги ведут в одно и то же место, разные обозначения дорог задают разные маршруты. Здесь нужно исключать запрещённые сочетания дорог, не теряя другие разрешённые пути.

Проверьте ошибочное решение

Из А в Б ведут дороги а, б, в, из Б в В — дороги 1 и 2. Всего шесть маршрутов: а1, а2, б1, б2, в1, в2. Путь б2 закрыт. Ученик ошибочно удалил всю дорогу б и получил 4 варианта. На самом деле закрыто лишь сочетание б2, путь б1 возможен. Следовательно, 6 − 1 = 5 маршрутов.

Часть I. Исправьте шесть различных ошибок

1. Три дороги А→Б и две дороги Б→В. Запрещён маршрут «б2». Ученик написал 3 + 2 − 1 = 4.
2. Есть дороги а, б, в и 1, 2. Закрыт маршрут «в1». Ученик вычеркнул в1 и в2.
3. Четыре дороги первого участка, три второго. Недоступен «г3». Ученик получил 4 × 3 − 2 = 10.
4. Два различных пути А→Б и четыре Б→В. Недоступен «а4». Ученик оставил 8 комбинаций, хотя назвал одну запрещённой.
5. Дороги а, б на первом участке и 1, 2, 3 на втором. Запрет «б3» записан дважды в объявлении. Ученик вычел две единицы.
6. Четыре дороги А→Б и две Б→В. Запрещено «а1». Ученик решил, что а1 и 1а — одинаковые маршруты.

Вывод после исправлений: при выборе дороги для каждого участка применяют произведение числа способов, а затем исключают только полные, действительно запрещённые маршруты. Исключение одного маршрута не означает закрытие целого участка дороги.

Часть II. Маршруты для самостоятельного решения

7. Первый участок: {а, б, в}; второй: {1, 2, 3}. Единственный недоступный маршрут — «а2». Определите число маршрутов двумя способами?
8. Первый участок: {а, б, в, г}; второй: {1, 2}. Единственный недоступный маршрут — «в1». Выпишите число допустимых маршрутов?
9. Первый участок: {а, б}; второй: {1, 2, 3, 4}. Единственный недоступный маршрут — «б4». Вычислите число возможных путей?
10. Первый участок: {к, л, м, н}; второй: {1, 2, 3}. Единственный недоступный маршрут — «м3». Сколько различных последовательностей дорог осталось?
11. Первый участок: {а, б, в, г, д}; второй: {1, 2}. Единственный недоступный маршрут — «д2». Определите число маршрутов двумя способами?
12. Первый участок: {а, б, в}; второй: {1, 2, 3, 4}. Единственный недоступный маршрут — «б3». Выпишите число допустимых маршрутов?
13. Первый участок: {к, л}; второй: {1, 2, 3, 4, 5}. Единственный недоступный маршрут — «к5». Вычислите число возможных путей?
14. Первый участок: {а, б, в, г}; второй: {1, 2, 3, 4}. Единственный недоступный маршрут — «г2». Сколько различных последовательностей дорог осталось?
15. Первый участок: {а, б, в, г, д}; второй: {1, 2, 3}. Единственный недоступный маршрут — «в1». Определите число маршрутов двумя способами?
16. Первый участок: {к, л, м, н}; второй: {1, 2, 3, 4, 5}. Единственный недоступный маршрут — «н4». Выпишите число допустимых маршрутов?

Часть III. Ответы и объяснение ошибок

Почему ошибочны решения 1–6

1. Нужно применить правило произведения: 3 × 2 − 1 = 5, а не сложение 3 + 2.
2. Запрещён лишь полный маршрут в1. В2 остаётся; всего 3 × 2 − 1 = 5.
3. Одна указанная комбинация, а не две: 12 − 1 = 11.
4. Исходных путей 2 × 4 = 8, один исключён; останется 7.
5. Повторное сообщение не создаёт второй запрещённый маршрут; 2 × 3 − 1 = 5.
6. Порядок этапов фиксирован: вторая запись 1а даже не относится к той же модели. Из 4 × 2 удаляется только а1, остаётся 7.

Решения маршрутов 7–16

7. Исходных 3 × 3 = 9; «а2» входит в перечень, поэтому остаётся 8. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 2 допустимых продолжений, остальные 2 — по 3; сумма 6 + 2 = 8.
8. Исходных 4 × 2 = 8; «в1» входит в перечень, поэтому остаётся 7. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 1 допустимых продолжений, остальные 3 — по 2; сумма 6 + 1 = 7.
9. Исходных 2 × 4 = 8; «б4» входит в перечень, поэтому остаётся 7. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 3 допустимых продолжений, остальные 1 — по 4; сумма 4 + 3 = 7.
10. Исходных 4 × 3 = 12; «м3» входит в перечень, поэтому остаётся 11. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 2 допустимых продолжений, остальные 3 — по 3; сумма 9 + 2 = 11.
11. Исходных 5 × 2 = 10; «д2» входит в перечень, поэтому остаётся 9. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 1 допустимых продолжений, остальные 4 — по 2; сумма 8 + 1 = 9.
12. Исходных 3 × 4 = 12; «б3» входит в перечень, поэтому остаётся 11. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 3 допустимых продолжений, остальные 2 — по 4; сумма 8 + 3 = 11.
13. Исходных 2 × 5 = 10; «к5» входит в перечень, поэтому остаётся 9. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 4 допустимых продолжений, остальные 1 — по 5; сумма 5 + 4 = 9.
14. Исходных 4 × 4 = 16; «г2» входит в перечень, поэтому остаётся 15. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 3 допустимых продолжений, остальные 3 — по 4; сумма 12 + 3 = 15.
15. Исходных 5 × 3 = 15; «в1» входит в перечень, поэтому остаётся 14. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 2 допустимых продолжений, остальные 4 — по 3; сумма 12 + 2 = 14.
16. Исходных 4 × 5 = 20; «н4» входит в перечень, поэтому остаётся 19. Контроль по первому этапу: одна начальная дорога имеет 4 допустимых продолжений, остальные 3 — по 5; сумма 15 + 4 = 19.

При проверке попросите учащегося нарисовать хотя бы одну строку таблицы маршрутов. Если на первом участке три дороги, на втором две, появится три группы по два исхода. Запрещённый маршрут вычёркивается в одной группе. Это даёт и ответ, и способ убедиться, что другие пути не потеряны. Запрет целой дороги на одном участке — другая задача: тогда исключается несколько пар, и формула «минус один» уже неверна.