Изменение цены сначала вверх затем вниз на одинаковый процент: примеры и объяснения для 6 класса

Прикладной кейс · 6 класс. В интернет-магазине наблюдают за ценой одного и того же товара: сначала её повышают на p%, а затем снижают на тот же p%. Цель — понять, почему цена не возвращается к исходной, и научиться проверять результат таблицей, формулой и расчётом разницы. Все суммы условные, без доставки и комиссий.

Ситуация: изменяем цену по двум объявлениям

Магазин опубликовал первое объявление: «Цена повышается на 10%». Через неделю появилось второе: «Снижаем текущую цену на 10%». Покупатель решил, что два изменения взаимно уничтожаются. Проверьте это утверждение на товаре стоимостью 8000 руб.

Итоговая цена 7920 руб. на 80 руб. (1%) меньше исходной. Первые 10% и вторые 10% взяты от разных оснований, поэтому размеры прибавки и вычета не равны.

Модель и быстрый контроль

Пусть начальная цена C руб., а процент одинаков в обе стороны. После повышения получается C × (1 + p/100); после снижения — C × (1 + p/100) × (1 − p/100). Раскрыв скобки, получаем C × (1 − p²/10000). Таким образом, снижение относительно исходной цены составляет p²/100 процента от C при 0 < p < 100. Например, для p = 20 снижение равно 400/100 = 4% от исходной стоимости.

Проверка здравого смысла: если процент один и тот же и находится между 0% и 100%, итоговая цена меньше первоначальной. Чем больше процент, тем заметнее потеря. Формула описывает идеализированные расчёты без округления каждого этапа до копеек.

Связанные задачи по таблице магазина

Во всех заданиях цена сначала повышается, затем снижается на тот же процент, указанный в строке. Заполните итоговую цену и разницу с первоначальной. Для проверки сначала вычислите промежуточную цену.

1. По товару А заполните две строки: цена после повышения и после снижения. Сколько рублей потеряла цена относительно старой?
2. По товару Б найдите итоговую стоимость и общий процент изменения относительно начальных 12 000 руб.
3. По товару В вычислите результат двумя способами: последовательно и по формуле 1 − (p/100)². Сверьте значения.
4. По товару Г найдите абсолютную разницу между первоначальной и конечной ценой. Почему при 5% в обе стороны это не ноль?
5. По товару Д покупатель утверждает: «Рост на 50% и падение на 50% дадут старую цену». Опровергните утверждение расчётом.
6. По товару Е определите уменьшение первоначальной цены в процентах. Сколько это рублей?

Новые сценарии — сравнение и обратный поиск

7. Для Ж найдите цену после повышения, цену после снижения и итоговую потерю относительно начальной стоимости.
8. Для З рассчитайте оба изменения в рублях. Чем объясняется разница между прибавкой и вычетом?
9. Для И определите потерю по формуле; затем проверьте её последовательным счётом.
10. Для К вычислите стоимость после двух операций и процент уменьшения относительно исходной цены.
11. Для Л оцените ответ заранее: падение исходной цены составит больше или меньше 10%? Проверьте точным расчётом.
12. Для М определите окончательную цену и разницу в рублях. Сколько процентов от первоначальной цены потеряно?

Ключ решений и смысл ответа

Проверьте объяснение, а не только цифру

Для задачи 3: 6000 × 1,25 = 7500; 7500 × 0,75 = 5625. Другой способ: 6000 × (1 − 0,25²) = 6000 × 0,9375 = 5625. Совпадение показывает, что база второго процента выбрана правильно.

Для задачи 5: 4000 + 2000 = 6000; половина 6000 — 3000. Значит, при возвратном снижении на 50% теряется четверть первоначальной цены. Вторая операция «минус 50%» действует на увеличенную, а не первоначальную сумму.

Для задачи 8: прибавили 900 руб. (10% от 9000), а затем вычли 990 руб. (10% от 9900). Разница между 990 и 900 равна 90 руб.; именно на эту величину уменьшилась цена.

Для задачи 9: 12,5% = одна восьмая. 6400 ÷ 8 = 800; цена выросла до 7200. Затем 7200 ÷ 8 = 900; цена снизилась до 6300. Потеря 100 руб., что составляет 100/6400 × 100% = 1,5625%. В рублях и процентах это два способа описать один результат.

Для задачи 11: поскольку 40²/100 = 16, снижение относительно первоначальной стоимости составит 16%, то есть больше 10%. Точная проверка: 10000 × 1,4 × 0,6 = 8400 руб.

Во всех решениях денежная единица должна быть подписана у цены и денежной разницы, а знак процента — только у относительного изменения. Правило не утверждает, что реальный магазин обязан применять такие изменения: это математическая модель двух последовательных операций над одной ценой.

Контрольные вопросы к математической модели

Почему нельзя вычесть после повышения ровно столько же рублей, сколько прибавили? Потому что условие говорит об одинаковом проценте, а не об одинаковой денежной сумме. После повышения база больше, и соответствующий процент в рублях тоже больше.

Что произойдёт, если процент равен 0? Цена вовсе не изменится: оба множителя равны единице. А если повысить на 100%, а затем снизить новую цену на 100%, итоговая цена станет нулевой. Это граничные случаи модели; для обычных задач применяются проценты строго между 0 и 100.