Карточка с объяснениями: деление на трёхзначное число с проверкой — 5 класс

Практическая ситуация: от предметов к математической модели

Разберём случай с открытками. Если 81 169 открыток раскладывать по 128, ищем 81 169 : 128. Знаем, что 128 × 600 = 76 800; после вычитания остаётся 4 369. Далее 128 × 34 = 4 352, остаётся 17. Значит, 634 полные пачки и 17 открыток без пачки. Проверка: 128 × 634 + 17 = 81 169, при этом 17 < 128.

Такую проверку полезно делать на черновике даже тогда, когда задача выглядит бытовой. Неполная пачка — не полная; смысл вопроса определяет, записывать ли 634 или 635.

Часть I. Склад и упаковка (№ 1–6)

• № 1. В мастерскую привезли 64 176 винтов. Их раскладывают по 168 штук в лоток. Сколько полных лотков получится, сколько винтов останется?
• № 2. Школьный склад получил 114 035 листов. На одну пачку требуется 240 листов. Сколько полных пачек и сколько отдельных листов?
• № 3. Для набора значков приготовили 70 200 штук, в каждую коробку кладут по 325. Сколько полных коробок получится?
• № 4. Типография напечатала 81 169 открыток. В одну пачку входит 128 открыток. Сколько пачек будут полными и сколько открыток лишние?
• № 5. На склад поступило 138 600 деталей; в контейнер помещается 450 деталей. Сколько полностью заполненных контейнеров?
• № 6. Получили 110 425 фишек. В каждую коробку кладут 375. Сколько полных коробок можно составить и сколько фишек останется?

Запишите для каждого пункта деление с остатком, короткий ответ словами и проверку умножением. Обратите внимание: ровно заполненная коробка не создаёт «остатка из нуля».

Часть II. Перенесите приём на чистые числа (№ 7–16)

Здесь нет истории про предметы: нужно самостоятельно понять, где закончится целое деление, а где останется неполная группа. Записывайте все цифры частного, включая нули внутри числа.

1. 7. 52 221 : 103 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
2. 8. 65 664 : 216 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
3. 9. 81 075 : 125 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
4. 10. 86 430 : 402 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
5. 11. 86 076 : 315 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
6. 12. 64 008 : 508 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
7. 13. 98 160 : 240 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
8. 14. 74 415 : 712 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
9. 15. 94 470 : 134 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.
10. 16. 80 055 : 625 = ____ (остаток ____); проверка: ____________________.

Часть III. Обнаружьте ошибку по проверке (№ 17–22)

Не стирайте чужой результат автоматически. Вначале вычислите делитель × предложенное частное + предложенный остаток, затем сравните его с делимым. Даже если равенство случайно получилось, отдельно проверьте допустимость остатка.

• 17. 44 379 : 144. Ученик написал: «307, остаток 27». Проверьте равенство, назовите ошибку и дайте исправленный результат.
• 18. 58 302 : 237. Ученик написал: «246, остаток 1». Проверьте равенство, назовите ошибку и дайте исправленный результат.
• 19. 78 557 : 360. Ученик написал: «218, остаток 437». Проверьте равенство, назовите ошибку и дайте исправленный результат.
• 20. 59 044 : 509. Ученик написал: «115, остаток 0». Проверьте равенство, назовите ошибку и дайте исправленный результат.
• 21. 77 792 : 128. Ученик написал: «607, остаток 128». Проверьте равенство, назовите ошибку и дайте исправленный результат.
• 22. 79 140 : 750. Ученик написал: «106, остаток 390». Проверьте равенство, назовите ошибку и дайте исправленный результат.

Дифференциация и оценивание

Для базового уровня дайте пункты 1–3, 7–11 и 17–18. Остальные пункты можно использовать для самостоятельного переноса умения и объяснения ошибок однокласснику. Ученик справился с навыком, если умеет не только делить, но и различать полные и неполные группы, сохраняет нули в частном, получает остаток меньше делителя и подтверждает каждый ответ проверочным равенством.

Вариативность программ: письменное деление на трёхзначное число в некоторых учебных курсах РФ и Казахстана может отрабатываться в разное время. Используйте карточку после знакомства с соответствующим алгоритмом.

Как различать вычисление и смысл вопроса

Формальное деление и ответ в текстовой задаче — не одно и то же. Когда имеется 114 035 листов и по 240 листов требуется на пачку, можно собрать 475 полных пачек и оставить 35 листов. Но если нужно разместить все листы в пачках вместимостью до 240 штук, будет использована ещё одна, неполная пачка. Поэтому в первом случае число полных пачек — 475, а во втором число необходимых пачек — 476. Проверка деления при этом остаётся той же: 240 × 475 + 35 = 114 035.

Рассмотрим трудность, связанную с нулём внутри частного. В примере 74 415 : 712 получается неполное частное 104 и остаток 367. После получения первой цифры частного следующий разряд может потребовать ноль: от этого ноль не превращается в «пропуск». Независимое подтверждение: 712 × 104 = 74 048, а 74 048 + 367 = 74 415. Дополнительно проверяем, что 367 меньше 712. Если записать частное 14, проверочное произведение станет значительно меньше исходного делимого.

Трёхзначный делитель не означает, что в каждом шаге достаточно сравнить две цифры делимого с делителем. Вначале берите столько старших цифр, сколько необходимо, чтобы получить число не меньше делителя. После выбора очередной цифры частного число, оставшееся от вычитания, обязано быть меньше делителя. Если оно равно делителю, выбранная цифра была занижена как минимум на единицу.

Обратите внимание на два разных способа обнаружения неверного ответа. Первый — арифметический: подставить частное и остаток в равенство. Второй — логический: проверить, что остаток неотрицателен и меньше делителя. Например, запись с остатком, равным делителю, не считается правильным делением с остатком даже в том случае, если исходное число можно представить суммой произведения и такого остатка. Нужно увеличить частное на единицу и уменьшить остаток на делитель.

Когда ученик долго подбирает очередную цифру частного, пусть найдёт два соседних произведения делителя на возможные числа. Для делителя 315 это может быть сравнение 315 × 7 = 2 205 и 315 × 8 = 2 520. Если неполное делимое находится между ними, цифра частного равна 7. Такой подбор снижает риск механических ошибок и подготавливает к самостоятельной проверке.

Для проверки навыка учителю удобно принимать не только конечное частное, но и короткое доказательство вида «делитель × частное + остаток = делимое; остаток меньше делителя». Ученик, который правильно получил число случайным подбором, но не может обосновать остаток, нуждается в дополнительном объяснении. В заданиях 17–22 полезно разрешить исправлять чужой ответ двумя цветами: один цвет для найденного нарушения, второй — для верного контрольного равенства.