Карточка с объяснениями: определение скорости по графику пути — 7 класс

Уровень: 7 класс. Заданий: 17. Мини-тест о том, как читать скорость по наклону графика пройденного пути s(t). Все соединяющие точки отрезки прямые; время указано в часах, путь — в километрах.

Мини-тест: вычислите, выберите, объясните

Для каждого графика используйте список координат вершин, чтобы можно было построить его на бумаге. Между двумя соседними вершинами скорость постоянна. Формула для отрезка: v = (s₂ − s₁) / (t₂ − t₁). Горизонтальная линия: v = 0.

Отметьте точки и соедините их. На отдельном листе запишите ответы, сначала не сверяясь с ключом. При выборе варианта обязательно укажите одно действие, подтверждающее выбор.

1. Г1: скорость на отрезке 0–2 ч: А) 3; Б) 6; В) 12 км/ч.
2. Г1: скорость от 2 до 4 ч: А) 0; Б) 2; В) 6 км/ч.
3. Г1: скорость от 4 до 5 ч: А) 4; Б) 9; В) 21 км/ч.
4. Г1: самая большая скорость: А) 6; Б) 9; В) 12 км/ч.
5. Г1: полный пройденный путь: А) 12; Б) 21; В) 33 км.
6. Г1: средняя скорость за 5 ч, включая остановку: А) 4,2; Б) 6; В) 7 км/ч.
7. Г2: скорость в первый час: А) 4; Б) 6; В) 16 км/ч.
8. Г2: скорость между 1-м и 3-м часами: А) 4; Б) 6; В) 12 км/ч.
9. Г2: средняя скорость за 3 часа: А) 5⅓; Б) 6; В) 16 км/ч.
10. Г3: длительность остановки: А) 0; Б) 1; В) 2 ч.

Дополнительная серия для закрепления

Теперь ответ записывайте без вариантов. Помните, что средняя скорость за всю поездку рассчитывается по полному пути и полному времени, включая остановки. Она не равна обязательно среднему арифметическому скоростей на отрезках.

11. Г3: вычислите скорость на участке 4–6 ч.
12. Г3: найдите среднюю скорость за все 6 ч.
13. Сравните скорость первого участка Г1 со скоростью первого участка Г2. На сколько километров в час одна выше другой?
14. Г1: сколько километров пути будет показано через 3 часа?
15. Г3: определите пройденный путь в момент t = 5 ч.
16. Постройте четвёртый график для равномерного движения 24 км за 3 часа с начальной точкой (0; 0). Запишите конечную точку и скорость.
17. Сформулируйте, как по одному только виду графика обнаружить остановку и можно ли на горизонтальном участке получать положительную скорость по этому графику.

Почему недостаточно разделить весь путь на любое время

Скорость на конкретном отрезке графика определяется именно этим отрезком. У Г1 от 0 до 2 часов пройдено 12 км, значит скорость 6 км/ч. Если ошибочно разделить 12 км на пять часов общей поездки, получится 2,4 км/ч — число не описывает ни движение на первом участке, ни среднюю скорость за всю поездку. В делении должны участвовать согласованные изменение пути и изменение времени.

У Г2 скорость на первом участке 4 км/ч, а на следующем 6 км/ч. Хотя за вторые два часа пройдено 12 км, начало этого промежутка приходится не на нулевой момент. Поэтому в формуле нужны обе конечные точки: (16 − 4) : (3 − 1) = 6, а не 16 : 2. Такой способ особенно полезен, если линия на графике не начинается в точке (0; 0).

Крутизна линии и единицы измерения

Чем круче график пройденного пути на одинаково масштабированных осях, тем больше численное значение скорости. Однако рисунки с разными масштабами нельзя сравнивать только на глаз: на одном листе по вертикали может быть одна клетка на 2 км, на другом — на 10 км. Надёжный способ — вычислить отношение изменений координат. Горизонтальный отрезок Г3 соответствует нулевой скорости независимо от масштаба.

Средняя скорость Г3 равна 30 км : 6 ч = 5 км/ч, хотя до остановки и после неё график имеет наклон 6 км/ч. Это не противоречие: час отдыха включён в общее время. Суммарно двигались 5 часов со скоростью 6 км/ч, что и даёт 30 км. Полезная проверка: общий путь равен сумме путей на всех движущихся отрезках, включая нулевой вклад остановки.

Типичный неверный выбор. В шестом вопросе можно механически усреднить 6, 0 и 9 и получить 5, но участки длились 2, 2 и 1 час, поэтому обычное среднее арифметическое трёх скоростей не описывает поездку. Правильнее брать весь пройденный путь и всё прошедшее время. Вопрос 9 также проверяет, что скорости 4 и 6 действовали в течение разного количества часов.

Контроль рисунка. В Г1 последняя точка должна быть выше первой, а отрезок 2–4 горизонтален. В Г3 отметка t = 5 лежит ровно посередине между 4 и 6 часами, значит путь лежит посередине между 18 и 30 км. Это даёт 24 км даже без отдельного деления. При разборе попросите ученика показать соответствующий отрезок пальцем на чертеже и только затем выполнить вычисление.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

Ответы находятся после заданий. Для печати только ученической части выделите текст до разделительной линии и распечатайте выделенное.

1. Б, 6: 12/2 = 6.
2. А, 0: путь не изменяется, 12 − 12 = 0.
3. Б, 9: (21 − 12)/(5 − 4) = 9.
4. Б, 9: сравниваем 6, 0 и 9.
5. Б, 21: последняя координата пути равна 21 км.
6. А, 4,2: 21/5 = 4,2.
7. А, 4: (4 − 0)/(1 − 0) = 4.
8. Б, 6: (16 − 4)/(3 − 1) = 12/2.
9. А, 5⅓: 16/3 км/ч.
10. Б, 1 ч: путь 18 км не меняется с t = 3 до t = 4.
11. (30 − 18)/(6 − 4) = 6 км/ч.
12. 30/6 = 5 км/ч.
13. Первый участок Г1: 6 км/ч, Г2: 4 км/ч; Г1 быстрее на 2 км/ч.
14. 12 км: от 2 до 4 ч график горизонтален.
15. 24 км: за 1 ч после t = 4 путь прибавит 6 км, поэтому 18 + 6 = 24.
16. Точки (0; 0) и (3; 24); скорость 8 км/ч.
17. Горизонтальный отрезок — остановка: прирост пути равен нулю, скорость по этому отрезку 0.

Проверка понимания: если ответ 6 оказался равен 6 км/ч, вы, вероятно, не учли стоянку. Средняя скорость считается по всему времени; скорость на отдельном участке — только по времени этого участка.