Карточка с объяснениями: поиск номера члена геометрической прогрессии — 9 класс

Этот маршрут учит решать обратную задачу: не вычислять значение по заданному номеру, а находить номер n, когда известны b₁, знаменатель q и искомое значение. Никакие логарифмы не нужны: достаточно привести отношение bₙ / b₁ к степени q и определить целый положительный номер. Два первых блока выполняются с опорой на образец; заключительные — самостоятельно.

Ориентир: номер определяется количеством переходов

Пусть b₁ = 4 и q = 3. Если требуется найти номер члена, равного 108, разделим: 108 : 4 = 27 = 3³. Значит, от первого члена сделано три умножения на 3; n = 3 + 1 = 4. Проверка: 4, 12, 36, 108. Номер члена всегда натуральный: 1, 2, 3, … Если число не появляется в прогрессии, нужно прямо написать «такого члена нет».

Точка 1. Уверенно узнаём степени

В каждом пункте сначала вычислите отношение bₙ / b₁, затем укажите показатель степени и прибавьте к нему единицу. При отрицательном q не теряйте знак: он помогает определить чётность числа переходов. Оформляйте ответ одной строкой «n = …» и маленькой проверкой. Важно также записать хотя бы три первых члена последовательности, когда возникают сомнения.

1. Геометрическая прогрессия: b₁ = 3, q = 2, b_n = 24. Найдите n.
2. Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 3, b_n = 45. Найдите n.
3. Геометрическая прогрессия: b₁ = 2, q = 4, b_n = 128. Найдите n.
4. Геометрическая прогрессия: b₁ = 7, q = 2, b_n = 112. Найдите n.

Точка 2. Номер пятого или шестого члена

В каждом пункте сначала вычислите отношение bₙ / b₁, затем укажите показатель степени и прибавьте к нему единицу. При отрицательном q не теряйте знак: он помогает определить чётность числа переходов. Оформляйте ответ одной строкой «n = …» и маленькой проверкой. Важно также записать хотя бы три первых члена последовательности, когда возникают сомнения.

5. Геометрическая прогрессия: b₁ = 4, q = 3, b_n = 324. Найдите n.
6. Геометрическая прогрессия: b₁ = 9, q = 2, b_n = 72. Найдите n.
7. Геометрическая прогрессия: b₁ = 8, q = 2, b_n = 256. Найдите n.
8. Геометрическая прогрессия: b₁ = 2, q = 5, b_n = 250. Найдите n.

Точка 3. Дробные знаменатели и убывание

В каждом пункте сначала вычислите отношение bₙ / b₁, затем укажите показатель степени и прибавьте к нему единицу. При отрицательном q не теряйте знак: он помогает определить чётность числа переходов. Оформляйте ответ одной строкой «n = …» и маленькой проверкой. Важно также записать хотя бы три первых члена последовательности, когда возникают сомнения.

9. Геометрическая прогрессия: b₁ = 48, q = 1/2, b_n = 3. Найдите n.
10. Геометрическая прогрессия: b₁ = 81, q = 1/3, b_n = 3. Найдите n.
11. Геометрическая прогрессия: b₁ = 64, q = 1/2, b_n = 2. Найдите n.
12. Геометрическая прогрессия: b₁ = 243, q = 1/3, b_n = 3. Найдите n.

Точка 4. Отрицательные знаменатели

В каждом пункте сначала вычислите отношение bₙ / b₁, затем укажите показатель степени и прибавьте к нему единицу. При отрицательном q не теряйте знак: он помогает определить чётность числа переходов. Оформляйте ответ одной строкой «n = …» и маленькой проверкой. Важно также записать хотя бы три первых члена последовательности, когда возникают сомнения.

13. Геометрическая прогрессия: b₁ = 4, q = −2, b_n = −32. Найдите n.
14. Геометрическая прогрессия: b₁ = 3, q = −3, b_n = 243. Найдите n.
15. Геометрическая прогрессия: b₁ = 6, q = −2, b_n = 24. Найдите n.
16. Геометрическая прогрессия: b₁ = 2, q = −3, b_n = −54. Найдите n.
17. Геометрическая прогрессия: b₁ = 4, q = −3, b_n = −108. Найдите n.

Финальная проверка без образца

В каждом пункте сначала вычислите отношение bₙ / b₁, затем укажите показатель степени и прибавьте к нему единицу. При отрицательном q не теряйте знак: он помогает определить чётность числа переходов. Оформляйте ответ одной строкой «n = …» и маленькой проверкой. Важно также записать хотя бы три первых члена последовательности, когда возникают сомнения.

18. Геометрическая прогрессия: b₁ = 5, q = 2, b_n = 160. Найдите n.
19. Геометрическая прогрессия: b₁ = 3, q = −2, b_n = −96. Найдите n.

Точка 5. Не каждый заданный результат достижим

В этих заданиях не угадывайте номер. Докажите, почему результат нельзя получить: сравните знаки и соседние степени, а затем сформулируйте вывод. Если получилось выражение с нецелым показателем степени, это не допустимый порядковый номер школьной последовательности.

20. b₁ = 3, q = 2. Может ли некоторый b_n быть равен 100? Если да, укажите n; если нет, объясните.
21. b₁ = 5, q = 3. Может ли некоторый b_n быть равен 40? Если да, укажите n; если нет, объясните.
22. b₁ = 2, q = −2. Может ли некоторый b_n быть равен 16? Если да, укажите n; если нет, объясните.

Ключ: 22 ответа с обоснованиями

1. 24 : (3) = 8 = (2)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = 24.
2. 45 : (5) = 9 = (3)². n = 3; проверка по формуле: b₃ = 45.
3. 128 : (2) = 64 = (4)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = 128.
4. 112 : (7) = 16 = (2)⁴. n = 5; проверка по формуле: b₅ = 112.
5. 324 : (4) = 81 = (3)⁴. n = 5; проверка по формуле: b₅ = 324.
6. 72 : (9) = 8 = (2)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = 72.
7. 256 : (8) = 32 = (2)⁵. n = 6; проверка по формуле: b₆ = 256.
8. 250 : (2) = 125 = (5)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = 250.
9. 3 : (48) = 1/16 = (1/2)⁴. n = 5; проверка по формуле: b₅ = 3.
10. 3 : (81) = 1/27 = (1/3)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = 3.
11. −32 : (4) = −8 = (−2)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = −32.
12. 243 : (3) = 81 = (−3)⁴. n = 5; проверка по формуле: b₅ = 243.
13. 24 : (6) = 4 = (−2)². n = 3; проверка по формуле: b₃ = 24.
14. −54 : (2) = −27 = (−3)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = −54.
15. 2 : (64) = 1/32 = (1/2)⁵. n = 6; проверка по формуле: b₆ = 2.
16. 3 : (243) = 1/81 = (1/3)⁴. n = 5; проверка по формуле: b₅ = 3.
17. 160 : (5) = 32 = (2)⁵. n = 6; проверка по формуле: b₆ = 160.
18. −108 : (4) = −27 = (−3)³. n = 4; проверка по формуле: b₄ = −108.
19. −96 : (3) = −32 = (−2)⁵. n = 6; проверка по формуле: b₆ = −96.
20. Такого натурального номера нет. Равенство (2)ⁿ⁻¹ = 100/3 не выполняется при целом n ≥ 1. Для проверки сравните последовательные степени и, если q отрицателен, их знаки.
21. Такого натурального номера нет. Равенство (3)ⁿ⁻¹ = 8 не выполняется при целом n ≥ 1. Для проверки сравните последовательные степени и, если q отрицателен, их знаки.
22. Такого натурального номера нет. Равенство (−2)ⁿ⁻¹ = 8 не выполняется при целом n ≥ 1. Для проверки сравните последовательные степени и, если q отрицателен, их знаки.

Критерии: одно очко за правильное преобразование к степени q, одно — за номер n и одно — за проверку (или обоснование отсутствия члена). Максимум 66. Если ученик получил n = 3 для числа, которому соответствуют три умножения от первого члена, разберите счёт переходов на рисунке 1 → 2 → 3 → 4: у четвёртого члена только три перехода.

Дополнительный вопрос на понимание: почему для q = 1 поиск номера по одному значению не всегда возможен? Все члены тогда совпадают. Задачи этого листа специально используют q, отличные от ±1 и 0, чтобы номер в правильных примерах определялся однозначно. Если q = −1, значения периодически повторяются, и по одному числу однозначный номер тоже не восстановить.