Карточка с объяснениями: равнобедренный треугольник и углы при основании — 7 класс

Геометрия · 7 класс · 3 варианта. На один вариант 10–15 минут. Имя ученика: ____________________ Дата: ___________

Тренируем именно равенство углов при основании, а не признаки равенства треугольников.

Как читать условие

Запись AB = AC означает, что две боковые стороны равны; BC — основание, а углы B и C равны. Для расчёта используется сумма углов треугольника 180°. Если дан внешний угол, сначала восстанови внутренний угол при той же вершине: их сумма 180°.

Пример. Если ∠A = 50°, то B = C = (180° − 50°) : 2 = 65°. Проверка: 50° + 65° + 65° = 180°. Не путай вершину между равными сторонами с концами основания.

Три способа не потерять угол

Первый способ — нарисовать небольшой треугольник, пометить две равные стороны одинаковыми штрихами, а их общую вершину буквой A. После этого несложно заметить, что B и C — концы основания. Этот приём особенно полезен, когда в условии используются переменные: равенство «4x + 5 = 6x − 19» появляется не случайно, а потому, что оба выражения обозначают углы при основании.

Второй способ — составить уравнение суммы углов. Например, если угол при вершине в три раза больше каждого угла при основании, не нужно складывать только два угла. Приняв основание за x, получаем x + x + 3x = 180. Важно не забыть две одинаковые части.

Третий способ — проверять реалистичность результата. Внутренний угол треугольника больше 0° и меньше 180°. Если после вычислений получены два угла по 90° и ещё положительный третий, допущена ошибка. Если внешний угол при A составляет 96°, внутренний A равен 84°, а не 96°. Оба угла составляют развёрнутый угол, поэтому их сумма — 180°.

Учителю удобно предложить вариант I для отработки правила, вариант II для проверки перехода между внешними и внутренними углами, вариант III для самостоятельного переноса навыка. При одинаковом типе задачи числовые данные меняются, так что ответы нельзя перенести без вычислений.

Листы ученика — три самостоятельных варианта

Во всех заданиях AB = AC, если не указано иное. Выполни свой вариант без ключа, запиши хотя бы одно равенство и проверку суммы углов.

Вариант I

1. В равнобедренном треугольнике ABC известно AB = AC и ∠B = 48°. Найди ∠C и ∠A.
2. AB = AC, угол при вершине A равен 36°. Вычисли оба угла при основании.
3. Каждый угол при основании вдвое больше угла при вершине. Найди все углы.
4. AB = AC, ∠B = 4x + 5°, ∠C = 6x − 19°. Найди x и углы треугольника.
5. Внешний угол при вершине A равен 140°. Найди внутренние углы при основании BC.

Вариант II

1. AB = AC, угол B равен 63°. Найди A и C.
2. AB = AC, вершина A равна 88°. Определи углы B и C.
3. Угол A в два раза меньше каждого угла при основании. Найди три угла.
4. AB = AC, ∠B = 3x + 11°, ∠C = 5x − 9°. Вычисли x, A, B и C.
5. Внешний угол при основании B равен 112°. Найди внутренние углы.

Вариант III

1. AB = AC, ∠C = 57°. Найди A и B.
2. AB = AC, ∠A = 104°. Найди углы B и C.
3. Угол при вершине в три раза больше каждого угла при основании. Найди все углы.
4. AB = AC, ∠B = 7x − 8°, ∠C = 4x + 19°. Найди x и все углы.
5. Внешний угол при вершине A равен 96°. Найди углы треугольника.

Ключ для учителя и самопроверки

Вариант I — решения

1. ∠C = 48°; ∠A = 180° − 48° − 48° = 84°.
2. ∠B = ∠C = (180° − 36°) : 2 = 72°.
3. Пусть вершина x°, тогда основание — по 2x°. 5x = 180°, x = 36°; углы 36°, 72°, 72°.
4. 4x + 5 = 6x − 19, 2x = 24, x = 12; B = C = 53°, A = 74°.
5. Внутренний A = 180° − 140° = 40°; B = C = 70°.

Вариант II — решения

1. C = 63°, A = 180° − 126° = 54°.
2. B = C = (180° − 88°) : 2 = 46°.
3. Если A = x, B = C = 2x, то 5x = 180°, A = 36°, B = C = 72°.
4. 3x + 11 = 5x − 9, x = 10; B = C = 41°, A = 98°.
5. B = 180° − 112° = 68°, C = 68°, A = 44°.

Вариант III — решения

1. B = 57°, A = 180° − 114° = 66°.
2. B = C = (180° − 104°) : 2 = 38°.
3. B = C = x, A = 3x; 5x = 180°, x = 36°; A = 108°.
4. 7x − 8 = 4x + 19, x = 9; B = C = 55°, A = 70°.
5. A = 180° − 96° = 84°, B = C = 48°.

Контроль результата

Каждое решение оцени по двум признакам: правильно установлена пара равных углов (1 балл), верно найдены неизвестные и проверена сумма 180° (1 балл). Всего за вариант 10 баллов. Если ошибка только в названии основания, заново отметь равные стороны цветным карандашом. При вычислении внешнего угла обязательно покажи смежный внутренний.

Для печати можно выбрать один вариант; ключ размещён после всех вариантов, чтобы его было легко отделить от ученической части.

Проверка уравнения без подстановки наугад. В варианте I из равенства углов 4x + 5 = 6x − 19 следует 24 = 2x. Это означает x = 12. В получившихся выражениях обе стороны дают 53°, что подтверждает исходное свойство равнобедренного треугольника. Такой двухэтапный контроль лучше простой проверки ответа по ключу.

Если на рисунке вершина, при которой равные стороны сходятся, обозначена другой буквой, сам закон не меняется. Определи равные стороны и только потом называй углы основания; формулу нельзя механически привязывать к буквам A, B, C.