Карточка с объяснениями: синус и косинус отрицательного угла — 10 класс

10 класс · исследовательская карточка · 26 заданий. Сначала постройте мысленно точку на единичной окружности, затем проверьте значение алгебраически. Здесь отрицателен угол, а не обязательно результат: например, cos(−60°) положителен.

Наглядная схема отражения

Вывод работает при любом действительном α — не только для острых углов. Поэтому не нужно сначала искать четверть: если задача содержит известный sin α или cos α, пользуйтесь свойством чётности и нечётности.

Лаборатория 1. Сформулируйте закономерность

1. Запишите sin(−t) через sin t.
2. Запишите cos(−t) через cos t.
3. Упростите sin(−2t).
4. Упростите cos(−3t).

Синус — нечётная функция, косинус — чётная. Слово «нечётная» здесь описывает свойство функции, а не то, чётное ли число градусов перед вами.

Лаборатория 2. Посчитайте точные значения

5. Найдите sin(−30°).
6. Найдите cos(−60°).
7. Найдите sin(−90°).
8. Найдите cos(−180°).
9. Найдите sin(−150°).
10. Найдите cos(−120°).
11. Найдите sin(−270°).
12. Найдите cos(−300°).
13. Найдите sin(−330°).

Подсказка после попытки: sin 30° = 1/2, cos 60° = 1/2, sin 45° = cos 45° = √2/2, sin 60° = √3/2. Угол 270° лежит на отрицательной полуоси Oy, поэтому sin 270° = −1.

Лаборатория 3. От числа к формуле

14. Если sin t = 3/5 и t — острый угол, чему равен sin(−t)?
15. Если cos t = 4/5 и t — острый угол, чему равен cos(−t)?
16. Если sin t = −5/13, чему равен sin(−t)?
17. Если cos t = −7/25, чему равен cos(−t)?
18. Верно ли равенство sin(−α) = sin α для любого α? Укажите контрпример.
19. Верно ли равенство cos(−α) = cos α для любого α? Почему?

Здесь не нужно знать сам угол. Если значение синуса уже задано, отражение меняет его знак. Для косинуса знак не меняется даже тогда, когда само исходное значение отрицательно.

Лаборатория 4. Комбинированные выражения и доказательство

20. Вычислите sin(−45°) + sin 45°.
21. Вычислите cos(−60°) − cos 60°.
22. Вычислите sin(−60°) · cos(−60°).
23. Найдите cos(−45°) − sin(−45°).
24. Если sin α = 0,2, вычислите sin(−α) − sin α.
25. Если cos β = −0,6, вычислите cos(−β) + cos β.
26. Докажите по симметрии единичной окружности равенства для sin(−α) и cos(−α).

Почему нельзя менять знак у обоих значений

В правой верхней четверти точка при угле α имеет положительные координаты. Если повернуть на такой же угол по часовой стрелке, точка окажется справа внизу: горизонтальная координата сохранится, а вертикальная изменит знак. Формула cos(−α) = cos α фиксирует сохранение первой координаты. Формула sin(−α) = −sin α отражает смену второй. При другом исходном положении точки рассуждение не меняется: отражение относительно Ox не зависит от того, острый угол или тупой.

Обратите внимание: знак минуса перед sin α — это операция получения противоположного значения, а не утверждение, что ответ всегда отрицателен. Если sin α = −0,8, то sin(−α) = +0,8. Напротив, cos(−α) не обязан быть положительным: при cos α = −0,6 он также равен −0,6. Это наиболее частая ловушка в заданиях 16–17 и 24–25.

Разобранный образец А: табличное значение

Найдём sin(−120°). Сначала используем нечётность: sin(−120°) = −sin 120°. Угол 120° находится во II четверти, его синус положителен и равен √3/2. Итак, sin(−120°) = −√3/2. Можно пойти другим путём: угол −120° совпадает по направлению с 240°. Это III четверть, где синус отрицателен, а опорный угол 60°; результат тот же. Две независимые проверки повышают надёжность вычисления.

Разобранный образец Б: выражение с параметром

Пусть для некоторого угла t известно sin t = −3/7 и cos t = 2√10/7. Эти числа согласованы с тождеством sin²t + cos²t = 1, поскольку 9/49 + 40/49 = 1. Тогда sin(−t) = 3/7, а cos(−t) = 2√10/7. Если найти сумму sin(−t) + cos(−t), получится (3 + 2√10)/7. Мы не искали числовую величину t: её значение здесь не требуется.

Какие рассуждения считать доказательством

Объяснение «косинус не меняет знак, потому что так написано в формуле» показывает лишь запоминание. Более содержательный ответ: координаты точек на единичной окружности зеркально симметричны относительно оси Ox. Поэтому абсциссы равны, ординаты противоположны. По определениям x = cos α и y = sin α получается нужное тождество. Этот довод обосновывает одновременно оба равенства, в том числе для углов вне первого оборота.

Полезно сопоставить чётность с периодичностью, но не смешивать их. Чётность сравнивает значения при α и −α. Периодичность сравнивает значения при α и α + 360°n. Если угол задан как −390°, можно сначала заменить его на −30° по периодичности, а потом применить нечётность синуса и чётность косинуса. В другой последовательности получится то же самое. Обе операции законны, но решают разные задачи.

Ещё одна ловушка — неверно раскрывать знак у аргумента с коэффициентом. Равенство sin(−2t) = −sin(2t) верно, но sin(−2t) не равно −2sin t: синус не является линейной функцией. Для t = 30° левая часть −√3/2, а ошибочная правая −1. Точно так же cos(−3t) = cos(3t), но не 3cos t. Обязательно держите скобки около всего аргумента.

Проверка без таблицы значений

Если вам дают неизвестный угол α и числовой sin α, сразу можно узнать sin(−α). Если известен cos α, сразу находится cos(−α). Но только по sin α обычно нельзя однозначно определить cos α без сведений о четверти: из sin²α + cos²α = 1 получаются два возможных знака косинуса. Эти ограничения важны, чтобы не пытаться получить из одной формулы больше информации, чем она содержит.

Для учителя удобна трёхступенчатая диагностика: сначала задания 1–4 и 18–19 на смысл свойств, затем 5–13 на табличные значения, наконец 14–17 и 20–25 на перенос формулы в вычисления. Ученик, который правильно решает численные задания, но не может объяснить 26-е, нуждается в короткой работе с рисунком единичной окружности, а не в дополнительных однотипных примерах.

Два независимых способа проверки

Возьмём cos(−240°). По чётности cos(−240°) = cos 240° = −1/2. Другой маршрут: прибавим к −240° полный оборот и получим 120°. Тогда cos(−240°) = cos 120° = −1/2. Совпадение результатов подтверждает ответ. Для sin(−240°) ситуация иная: по нечётности получим −sin 240° = +√3/2, а при приведении угла −240° + 360° = 120° также получим sin 120° = +√3/2. Когда ученик видит два маршрута, знак перестаёт зависеть от интуитивной оценки того, «положительный» или «отрицательный» сам угол.

Для самостоятельной проверки нарисуйте небольшую таблицу с четырьмя столбцами: исходный угол, знак исходного синуса, знак исходного косинуса, знаки после изменения α на −α. Заполните по одному представителю каждой четверти — 30°, 120°, 210°, 300°. Для I четверти знаки (+,+) после отражения превращаются в (+,−), если записывать пару (cos,sin); для II (−,+) становится (−,−), для III (−,−) — (−,+), для IV (+,−) — (+,+). Это визуальная проверка единого правила для всех четырёх случаев.

Наконец, отличайте равенство численных значений от равенства направлений. Угол α и угол −α чаще всего приводят к разным точкам окружности, но их косинусы одинаковы. Такая симметрия не означает, что совпадают и синусы: они противоположны. Исключение возникает, когда sin α = 0; тогда и sin(−α) равен нулю. Это не отменяет нечётность, а является её частным случаем.

Особенно полезна обратная проверка: если вы получили sin(−α) = 0,7, то sin α должно быть −0,7. А если cos(−α) = −0,4, то cos α также равно −0,4. Объясните оба результата словами, не используя готовый табличный угол. Так проверяется умение работать с произвольным параметром и свойства функций, а не только память на значения 30°, 45° и 60°.

Ответы и разбор для учителя и самопроверки

Эту часть можно не включать в ученическую распечатку. Проверяйте не только итоговое число, но и записанное обоснование; при ошибке сначала найдите неверный шаг, затем повторите аналогичное задание.

Ключ: формулы, значения, рассуждения

1. −sin t.
2. cos t.
3. −sin(2t).
4. cos(3t).
5. −1/2.
6. 1/2.
7. −1.
8. −1.
9. −1/2.
10. −1/2.
11. 1, так как sin 270° = −1.
12. 1/2.
13. 1/2.
14. −3/5.
15. 4/5.
16. 5/13.
17. −7/25.
18. Неверно. Например, sin(−30°) = −1/2, sin 30° = 1/2.
19. Верно. Косинус — чётная функция, отражение относительно Ox сохраняет x-координату.
20. 0: синусы противоположны.
21. 0: косинусы равны.
22. −√3/4: (−√3/2) · (1/2).
23. √2: √2/2 − (−√2/2).
24. −0,4: −0,2 − 0,2.
25. −1,2: −0,6 + (−0,6).
26. При повороте на −α вместо α точка окружности отражается относительно Ox. Поэтому x-координата cos сохраняется, а y-координата sin меняет знак.

Проверка преподавателя: отметьте отдельно ошибки со знаком, с табличным значением и с преобразованием выражений. Задания 18–19 показывают, понял ли ученик правило как тождество для любого угла; задание 26 проверяет геометрическую причину.