Карточки для 10 класса: логарифмические неравенства с основанием меньше единицы

Если 0 < a < 1, функция y = log_ax убывает: при увеличении аргумента значение логарифма уменьшается. Поэтому в неравенстве log_1/2x > 2 получается 0 < x < 1/4, а не x > 1/4. Дополнительное условие x > 0 обязательно. Здесь 26 заданий: сначала короткий тест с разбором, затем закрепление на выражениях со скобками и отрицательным коэффициентом.

Прежде чем считать: как меняется знак

Например, log_1/2(x − 1) ≥ 1. ОДЗ x > 1. Поскольку основание меньше единицы, получаем x − 1 ≤ 1/2. Значит, 1 < x ≤ 3/2. Левая граница открытая из-за ОДЗ, правая включена из-за нестрогого знака. Нарисуйте числовую прямую: полезно визуально проверить обе границы.

Мини-тест: первые 12 заданий

Первые шесть пунктов содержат простой аргумент или линейную замену. В следующих шести требуется особенно внимательно учитывать знак коэффициента при x. Запишите ОДЗ и только затем переходите к сравнению с положительной степенью основания. Не смотрите в ответы до завершения всей мини-проверочной.

1. Решите неравенство log_1/2(x) > 2. Ответ: __________.
2. Решите неравенство log_1/2(x) < 1. Ответ: __________.
3. Решите неравенство log_1/2(x + 1) ≥ 0. Ответ: __________.
4. Решите неравенство log_1/2(x − 2) ≤ −1. Ответ: __________.
5. Решите неравенство log_1/3(2x + 1) > 1. Ответ: __________.
6. Решите неравенство log_1/4(−x + 3) < 1. Ответ: __________.
7. Решите неравенство log_1/2(2x − 3) ≥ 1. Ответ: __________.
8. Решите неравенство log_1/2(x + 4) ≤ −2. Ответ: __________.
9. Решите неравенство log_1/3(x − 1) > 0. Ответ: __________.
10. Решите неравенство log_1/3(−x + 5) ≥ 1. Ответ: __________.
11. Решите неравенство log_1/2(x + 2) < −1. Ответ: __________.
12. Решите неравенство log_1/4(1/2x) ≤ 1. Ответ: __________.

Разбор мини-теста

1. x ∈ (0; 1/4). ОДЗ: x > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x с (1/2)² = 1/4 и пересекаем с ОДЗ.
2. x > 1/2. ОДЗ: x > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x с (1/2)¹ = 1/2 и пересекаем с ОДЗ.
3. x ∈ (-1; 0]. ОДЗ: x + 1 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x + 1 с (1/2)⁰ = 1 и пересекаем с ОДЗ.
4. x ≥ 4. ОДЗ: x − 2 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x − 2 с (1/2)⁻¹ = 2 и пересекаем с ОДЗ.
5. x ∈ (-1/2; -1/3). ОДЗ: 2x + 1 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 2x + 1 с (1/3)¹ = 1/3 и пересекаем с ОДЗ.
6. x < 11/4. ОДЗ: −x + 3 > 0. При 0 < 1/4 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем −x + 3 с (1/4)¹ = 1/4 и пересекаем с ОДЗ.
7. x ∈ (3/2; 7/4]. ОДЗ: 2x − 3 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 2x − 3 с (1/2)¹ = 1/2 и пересекаем с ОДЗ.
8. x ≥ 0. ОДЗ: x + 4 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x + 4 с (1/2)⁻² = 4 и пересекаем с ОДЗ.
9. x ∈ (1; 2). ОДЗ: x − 1 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x − 1 с (1/3)⁰ = 1 и пересекаем с ОДЗ.
10. x ∈ [14/3; 5). ОДЗ: −x + 5 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем −x + 5 с (1/3)¹ = 1/3 и пересекаем с ОДЗ.
11. x > 0. ОДЗ: x + 2 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x + 2 с (1/2)⁻¹ = 2 и пересекаем с ОДЗ.
12. x ≥ 1/2. ОДЗ: 1/2x > 0. При 0 < 1/4 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 1/2x с (1/4)¹ = 1/4 и пересекаем с ОДЗ.

Дополнительная серия для закрепления — 14 заданий

Проверьте себя на новых числах. Если коэффициент у x отрицателен, направление неравенства меняется ещё раз при делении на отрицательное число. Это другое изменение знака, не связанное с убыванием логарифма. В качестве самоконтроля подставьте по одной точке внутрь найденного множества и вне его, соблюдая ОДЗ.

13. Решите неравенство log_1/2(x − 5) > −2. Ответ: __________.
14. Решите неравенство log_1/2(x + 5) < 3. Ответ: __________.
15. Решите неравенство log_1/3(3x − 6) ≤ 0. Ответ: __________.
16. Решите неравенство log_1/2(−x + 4) ≥ −1. Ответ: __________.
17. Решите неравенство log_1/4(2x + 3) > 0. Ответ: __________.
18. Решите неравенство log_1/2(-2x + 1) ≤ 2. Ответ: __________.
19. Решите неравенство log_1/3(x + 1) ≥ −1. Ответ: __________.
20. Решите неравенство log_1/2(5x) > 1. Ответ: __________.
21. Решите неравенство log_1/4(−x + 8) < 0. Ответ: __________.
22. Решите неравенство log_1/3(−x + 2) ≤ −1. Ответ: __________.
23. Решите неравенство log_1/2(x − 1) ≥ 2. Ответ: __________.
24. Решите неравенство log_1/4(x + 1) < −1. Ответ: __________.
25. Решите неравенство log_1/3(4x − 1) > 1. Ответ: __________.
26. Решите неравенство log_1/2(−x + 6) ≥ 0. Ответ: __________.

Ключ к дополнительной серии

13. x ∈ (5; 9). ОДЗ: x − 5 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x − 5 с (1/2)⁻² = 4 и пересекаем с ОДЗ.
14. x > -39/8. ОДЗ: x + 5 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x + 5 с (1/2)³ = 1/8 и пересекаем с ОДЗ.
15. x ≥ 7/3. ОДЗ: 3x − 6 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 3x − 6 с (1/3)⁰ = 1 и пересекаем с ОДЗ.
16. x ∈ [2; 4). ОДЗ: −x + 4 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем −x + 4 с (1/2)⁻¹ = 2 и пересекаем с ОДЗ.
17. x ∈ (-3/2; -1). ОДЗ: 2x + 3 > 0. При 0 < 1/4 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 2x + 3 с (1/4)⁰ = 1 и пересекаем с ОДЗ.
18. x ≤ 3/8. ОДЗ: -2x + 1 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем -2x + 1 с (1/2)² = 1/4 и пересекаем с ОДЗ.
19. x ∈ (-1; 2]. ОДЗ: x + 1 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x + 1 с (1/3)⁻¹ = 3 и пересекаем с ОДЗ.
20. x ∈ (0; 1/10). ОДЗ: 5x > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 5x с (1/2)¹ = 1/2 и пересекаем с ОДЗ.
21. x < 7. ОДЗ: −x + 8 > 0. При 0 < 1/4 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем −x + 8 с (1/4)⁰ = 1 и пересекаем с ОДЗ.
22. x ≤ -1. ОДЗ: −x + 2 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем −x + 2 с (1/3)⁻¹ = 3 и пересекаем с ОДЗ.
23. x ∈ (1; 5/4]. ОДЗ: x − 1 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x − 1 с (1/2)² = 1/4 и пересекаем с ОДЗ.
24. x > 3. ОДЗ: x + 1 > 0. При 0 < 1/4 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем x + 1 с (1/4)⁻¹ = 4 и пересекаем с ОДЗ.
25. x ∈ (1/4; 1/3). ОДЗ: 4x − 1 > 0. При 0 < 1/3 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем 4x − 1 с (1/3)¹ = 1/3 и пересекаем с ОДЗ.
26. x ∈ [5; 6). ОДЗ: −x + 6 > 0. При 0 < 1/2 < 1 логарифм убывает: знак при переходе к аргументу меняется. Сравниваем −x + 6 с (1/2)⁰ = 1 и пересекаем с ОДЗ.

Критерии и работа над ошибками

За каждый из 26 пунктов предусмотрены два балла: один за правильное сравнение аргумента со степенью a^k, второй — за окончательный промежуток с учётом ОДЗ и включения границы. Максимум 52 балла. Если ученик получил противоположное направление неравенства, попросите его сравнить log_1/2(1/4) = 2 и log_1/21 = 0: меньший аргумент действительно даёт больший логарифм.

Если ошибка появляется только на границе, повторите разницу между «<» и «≤». При равенстве аргумента a^k исходный логарифм равен k, поэтому такая точка включена лишь для нестрогого знака. Обратите внимание: в некоторых учебных программах РФ и Казахстана логарифмические неравенства проходят в разное время; эта карточка рассчитана на учащихся, уже знакомых с монотонностью логарифмической функции.