Карточки для 11 класса: объём цилиндра в задачах на вместимость

Карточки рассчитаны на парную работу: ученик А решает задачи 1–6, ученик Б — 7–12, после чего пара проверяет оба листа. Под вместимостью понимаем внутренний объём цилиндрической ёмкости, без учёта толщины стенок. Для круглого дна V = πr²h. Вода измеряется в литрах: 1000 см³ = 1 л. Если нужно округлить, сперва сохраните точное выражение с π, а затем используйте π ≈ 3,14. Это предотвращает накопление погрешности.

Образец на бытовом примере

У стакана радиус 5 см, высота 12 см. Тогда V = π·5²·12 = 300π см³ = 0,3π л ≈ 0,942 л. Типичная ошибка — делить сантиметры вместо кубических сантиметров на 1000. Другая ошибка — подставлять диаметр вместо радиуса. При диаметре 10 см радиус равен 5 см, и это уменьшает рассчитанный по ошибке объём в четыре раза.

Карточки ученика А — шесть ёмкостей

Пользуйтесь формулой и подписывайте единицы после каждого преобразования. Для проверки оцените порядок величины: контейнер высотой несколько десятков сантиметров и радиусом меньше 15 см не может вместить тысячи литров. В этой части все размеры указаны как внутренние и не требуют дополнительных поправок.

1. Цилиндрическая ёмкость имеет внутренний радиус 10 см и высоту 20 см. Какова её вместимость в литрах? Запишите также точное значение через π. Решение: ___________________________
2. Цилиндрическая ёмкость имеет внутренний радиус 5 см и высоту 16 см. Какова её вместимость в литрах? Запишите также точное значение через π. Решение: ___________________________
3. Цилиндрическая ёмкость имеет внутренний радиус 8 см и высоту 25 см. Какова её вместимость в литрах? Запишите также точное значение через π. Решение: ___________________________
4. Цилиндрическая ёмкость имеет внутренний радиус 6 см и высоту 15 см. Какова её вместимость в литрах? Запишите также точное значение через π. Решение: ___________________________
5. Цилиндрическая ёмкость имеет внутренний радиус 4 см и высоту 30 см. Какова её вместимость в литрах? Запишите также точное значение через π. Решение: ___________________________
6. Цилиндрическая ёмкость имеет внутренний радиус 12 см и высоту 10 см. Какова её вместимость в литрах? Запишите также точное значение через π. Решение: ___________________________

Карточки ученика Б — обратные и практические задачи

Не пытайтесь угадывать объём по одному размеру. Если V и r известны, разделите объём на площадь дна; если известны V и h, сначала получите r², затем извлеките положительный квадратный корень. При неполном заполнении вычислите долю объёма, а в последнем задании не забудьте учесть число стаканов.

7. Дано V = 900π см³, внутренний радиус цилиндра 10 см. Найдите высоту ёмкости. Решение: ___________________________
8. Цилиндр вмещает 864π см³, высота 24 см. Найдите внутренний радиус. Решение: ___________________________
9. Сравните объёмы ёмкостей A (радиус 5 см, высота 20 см) и Б (радиус 10 см, высота 5 см). Кто вместительнее? Решение: ___________________________
10. В цилиндр с внутренним радиусом 10 см и высотой 30 см налили половину полного объёма воды. Сколько это литров? Решение: ___________________________
11. В цилиндр с внутренним радиусом 8 см и высотой 20 см налили три четверти полного объёма воды. Сколько это литров? Решение: ___________________________
12. В четыре одинаковых цилиндрических стакана радиусом 5 см и высотой 10 см налили воду до краёв. Сколько литров воды всего? Решение: ___________________________

Обмен решениями: контроль величин и допущений

Партнёр отмечает три пункта: в квадрат возведён радиус, а не высота; получены кубические сантиметры; перевод в литры выполнен делением на 1000. В задачах о заполнении сравните результат с полной вместимостью: половина ёмкости не может оказаться больше целого. Результат с π принимается как точный, десятичный — как приближённый при оговорённом значении π.

Ключ для учителя и родителей

1. 2π л ≈ 157/25 л. V = π·10²·20 = 2000π см³. После деления на 1000 получаем 2π л; при π ≈ 3,14 выходит 157/25 л.
2. 2/5π л ≈ 157/125 л. V = π·5²·16 = 400π см³. После деления на 1000 получаем 2/5π л; при π ≈ 3,14 выходит 157/125 л.
3. 8/5π л ≈ 628/125 л. V = π·8²·25 = 1600π см³. После деления на 1000 получаем 8/5π л; при π ≈ 3,14 выходит 628/125 л.
4. 27/50π л ≈ 4239/2500 л. V = π·6²·15 = 540π см³. После деления на 1000 получаем 27/50π л; при π ≈ 3,14 выходит 4239/2500 л.
5. 12/25π л ≈ 942/625 л. V = π·4²·30 = 480π см³. После деления на 1000 получаем 12/25π л; при π ≈ 3,14 выходит 942/625 л.
6. 36/25π л ≈ 2826/625 л. V = π·12²·10 = 1440π см³. После деления на 1000 получаем 36/25π л; при π ≈ 3,14 выходит 2826/625 л.
7. 9 см. h = V/(πr²) = 900π/(100π) = 9 см.
8. 6 см. r² = V/(πh) = 864/24 = 36, поэтому r = 6 см, так как радиус положителен.
9. одинаково: 500π см³. A: V = π·5²·20 = 500π см³; Б: V = π·10²·5 = 500π см³. Увеличение радиуса вдвое при уменьшении высоты вчетверо оставляет объём прежним.
10. 3/2π л ≈ 471/100 л. Полный объём π·10²·30 см³. Учитываем долю 1/2: 1500π см³ = 3/2π л ≈ 471/100 л.
11. 24/25π л ≈ 1884/625 л. Полный объём π·8²·20 см³. Учитываем долю 3/4: 960π см³ = 24/25π л ≈ 1884/625 л.
12. 1π л ≈ 157/50 л. Один стакан: π·25·10 = 250π см³; четыре: 1000π см³ = 1π л ≈ 157/50 л.

Сверяйте промежуточные действия, а не только итог: у числа 3,14 статус приближения, поэтому при записях с π обязательно сохраняется знак «≈». Обсудите с классом разницу между цилиндром как геометрическим телом и реальной ёмкостью с толщиной стенок: здесь учитывается только внутреннее пространство. Размеры округлены до удобных учебных значений; в практической жизни вместимость измеряют с поправками на конструкцию сосуда и уровень наполнения.