Карточки для 6 класса: деление обыкновенной дроби на дробь

6 класс · Распечатка для ученика · Три независимых варианта: дробь разделить на дробь

Фамилия, имя: ____________________________________   Дата: ______________

Каждый вариант можно выдать отдельному ученику либо выполнить последовательно в разные дни. Все числа подобраны так, чтобы проверять само деление, а не только механическое сокращение. Число, на которое делят, в заданиях не равно нулю.

Вариант А · 9 заданий

Базовый контроль: запишите обратную дробь и найдите частное.

1. 3/4 : 1/2 = __________________
2. 5/6 : 2/3 = __________________
3. 7/10 : 7/20 = __________________
4. 4/9 : 2/3 = __________________
5. 9/14 : 3/7 = __________________
6. 5/12 : 25/36 = __________________
7. 11/15 : 22/45 = __________________

8. Из 3/4 л сока разливают порции по 1/8 л. Сколько порций получится?

9. Сравните частное 3/5 : 2/5 и произведение 3/5 · 2/5. Какое больше?

Место для решения: ____________________________________________________________

Вариант Б · 9 заданий

Средний уровень: сократите получившееся произведение и проверьте ответ обратным действием.

1. 2/5 : 4/15 = __________________
2. 7/12 : 7/18 = __________________
3. 9/16 : 3/8 = __________________
4. 5/9 : 10/27 = __________________
5. 8/21 : 4/7 = __________________
6. 13/24 : 13/36 = __________________
7. 7/15 : 14/25 = __________________

8. На каждый узор уходит 2/9 м тесьмы. На сколько узоров хватит 4/3 м?

9. Сравните 7/8 : 1/4 и 7/8 · 1/4. Оцените результаты до вычисления.

Место для решения: ____________________________________________________________

Вариант В · 9 заданий

Повышенная внимательность: не забывайте, что переворачивают только делитель, а не оба множителя.

1. 5/8 : 15/16 = __________________
2. 11/18 : 11/12 = __________________
3. 7/9 : 14/27 = __________________
4. 3/10 : 9/25 = __________________
5. 8/15 : 4/25 = __________________
6. 17/20 : 17/30 = __________________
7. 9/14 : 27/28 = __________________

8. В банке 5/6 кг крупы. Одна порция весит 1/12 кг. Сколько порций можно отмерить?

9. Сравните 2/3 : 4/9 и 2/3 · 4/9. Объясните отличие деления от умножения.

Место для решения: ____________________________________________________________

Разбор подхода до открытия ответов

В каждом варианте первые семь заданий вычислительные. Ученику нужно записать переход от деления к умножению на обратную дробь: именно этот переход позволяет проверить, освоено ли правило. Результат можно сократить как до перемножения, так и после него. Однако для сложных числителей лучше сокращать заранее: меньше промежуточные числа — меньше вероятность вычислительной ошибки.

Распространённая ловушка состоит в том, что при записи a/b : c/d переворачивают и делимое, и делитель. Так делать нельзя. Первая дробь должна остаться прежней. Переворачивают только вторую дробь, после чего знак деления заменяется знаком умножения. Например, для задания А1 правильная запись: 3/4 · 2/1 = 3/2. Контроль: 3/2 · 1/2 = 3/4. Этот обратный ход можно применять к любому примеру, независимо от сложности чисел.

Вариант А: следим за изменением величины

В задании А1 делитель равен половине. Деление на половину показывает, сколько половин помещается в заданной величине. В трёх четвертях помещается полторы половины, поэтому частное 3/2 больше самого делимого. Такой смысл полезен для понимания всех случаев, когда положительное число делят на положительную правильную дробь: частное увеличивается.

В задании А3 обе дроби содержат семёрку в числителе. Вычислительный путь без промежуточного сокращения возможен, однако удобнее видеть 7/10 : 7/20 = 7/10 · 20/7 = 2. Результат целый, поскольку делитель составляет ровно половину делимого. Это не случайная закономерность записи, а сравнение двух конкретных величин.

Задание А8 требует перевести ситуацию на язык действия. Если каждой порции нужно 1/8 литра, число порций можно узнать делением общего объёма 3/4 литра на объём одной порции. Получается шесть. В ответе недостаточно написать только «6»: важно назвать единицу счёта — порций.

Вариант Б: не путайте результат и делитель

В этом варианте есть ответы, которые удобно представить смешанным числом, например 2/5 : 4/15 = 3/2. После сокращения ответ 1 1/2 допустим, если вопрос не требует записи неправильной дробью. Но при обратной проверке часто легче оставить 3/2, потому что его можно сразу умножить на 4/15 и получить исходные 2/5.

В задаче о тесьме делимое 4/3 метра больше одного метра, а на один узор уходит всего 2/9 метра. Поэтому можно ожидать несколько узоров. Вычисление 4/3 : 2/9 = 4/3 · 9/2 = 6 даёт целое количество. Если у вас получился ответ меньше единицы, он не согласуется с условием и требует пересчёта.

Вариант В: уделите внимание сокращению

Некоторые дроби в этом варианте кажутся сложными, но числитель делимого совпадает с числителем делителя или содержит общий множитель. В задании В2 число 11 встречается в обеих дробях: 11/18 : 11/12 = 11/18 · 12/11 = 2/3. Правильная операция сокращения здесь помогает быстро получить простой ответ; ошибочное умножение без переворота делителя привело бы к совершенно иному числу.

В задании В9 сравниваются две разные операции с одними и теми же дробями. Результат деления на правильную дробь оказывается больше исходного положительного числа, а результат умножения на такую дробь — меньше исходного. Это важная смысловая противоположность. Ученик должен не просто назвать большее число, но объяснить, чем два действия отличаются.

Проверка вариантов без повторного решения целиком

Проверьте выборочно по одному вычислению каждого уровня. Впишите найденное частное вместо неизвестного множителя в равенство «частное · делитель = делимое». Если оно верно, действие согласуется с исходной задачей. Затем обратите внимание на оформление: сокращённая дробь, правильный знак деления, ясный ответ в текстовых задачах. Даже при верном числе отсутствие пояснения может скрывать случайное угадывание.

Варианты построены для самостоятельной тренировки. Их можно чередовать на уроке: сначала ученик решает вариант А, через несколько занятий — Б, а затем — В, чтобы убедиться, что он не запомнил конкретные ответы. При проверке полезнее отслеживать тип ошибок, чем количество повторений. Если проблема только в таблице умножения, правило деления, возможно, уже усвоено.

Ключ: подробный ход для каждого варианта

Вариант А

8. 3/4 : 1/8 = 6 порций. Количество целое, остатка нет.

9. Частное = 1 1/2, произведение = 6/25. Частное больше, так как делитель 2/5 меньше единицы: деление на такую дробь увеличивает положительное делимое.

Вариант Б

8. 4/3 : 2/9 = 6 узоров. Количество целое, остатка нет.

9. Частное = 3 1/2, произведение = 7/32. Частное больше, так как делитель 1/4 меньше единицы: деление на такую дробь увеличивает положительное делимое.

Вариант В

8. 5/6 : 1/12 = 10 порций. Количество целое, остатка нет.

9. Частное = 1 1/2, произведение = 8/27. Частное больше, так как делитель 4/9 меньше единицы: деление на такую дробь увеличивает положительное делимое.

Проверка работы: в каждом примере умножение частного на делитель должно вернуть делимое. При проверке самих ответов важно не перепутать сохранение делимого с заменой делителя на обратную дробь. Для каждой самостоятельной работы удобно выставлять один балл за задание, а в задачах 8–9 оценивать также объяснение.

Методические заметки к самостоятельным вариантам

Что именно проверяют первые семь примеров

Когда ученик сразу пишет одно конечное число, у учителя остаётся мало информации о ходе вычисления. Поэтому при первичной диагностике стоит просить минимум две строки: исходное деление и полученное умножение на обратную дробь. Даже при верном ответе важно удостовериться, что ученик переворачивает именно делитель. Во время повторной тренировки требование можно ослабить, но только если ошибок больше нет.

В заданиях А6 и А7 особенно хорошо видна польза сокращения. Делитель подобран так, что после обращения в дроби появляются общие множители. Сильный ученик находит их до перемножения, но более медленный вариант с умножением числителей и знаменателей и последующим сокращением столь же математически правильный. Не нужно снижать оценку за выбранный путь, если он корректен и приводит к правильному результату.

В варианте Б некоторые ответы представлены неправильными дробями. Ученик может выделить целую часть для удобства чтения, но при проверке обратным действием неправильная дробь часто проще: её сразу умножают на делитель. Две разные записи одного числа не должны оцениваться как разные результаты. Главное — сохранение точного значения и отсутствие попытки округлять дробь десятичным приближением без необходимости.

Вариант В содержит дроби, у которых числители или знаменатели сокращаются весьма заметно. Это создаёт соблазн пропустить запись обращения делителя и сразу назвать ответ. Если ребёнок ещё изучает тему, полезно вернуть этот шаг в черновик. Ведь один и тот же правильный результат иногда можно получить случайным сокращением; последовательность действий подтверждает понимание.

Как проверять ответы на текстовые задачи

Текстовое условие не всегда требует делить первое встреченное число на второе. Нужно выяснить, что принято за одну порцию и что является общим количеством. В задаче о соке общий объём — 3/4 л, объём порции — 1/8 л. Делим общий объём на объём одной порции, а не наоборот. Число 6 — это количество порций, поэтому в ответе не пишут «6 литров».

В задаче о тесьме получается шесть узоров. Единица измерения делимого и делителя — метр — сокращается, потому что вопрос ставится о количестве одинаковых деталей. Аналогичный смысл у задачи о крупе: килограммы в числителе и килограммы на порцию в знаменателе оставляют количество порций. Такой разговор полезен для перехода от чистой арифметики к задачам на измерения.

Если по условию получилось бы дробное количество полных изделий, потребовалось бы отдельно обсудить возможность изготовления неполного изделия. В этой подборке условия выбраны так, что число порций или узоров целое. Это позволяет сосредоточиться на навыке деления обыкновенных дробей без дополнительного обсуждения округления и остатка.

Две проверки, которые не заменяют друг друга

Первая проверка — точная: частное, умноженное на делитель, должно дать делимое. Вторая проверка — оценочная: деление положительного числа на положительную дробь, меньшую единицы, увеличивает результат. Оценка помогает быстро заметить явно невозможный ответ, но сама по себе не доказывает его точность. Поэтому после оценки обязательно используйте обратное действие.

Для индивидуальной работы достаточно выдать один вариант и закрыть весь раздел с ключами. Для повторения через неделю удобно предложить другой вариант. Если ученик ошибается во всех задачах на сравнение, но правильно решает вычислительные пункты, стоит разбирать не повторно алгоритм обращения дроби, а смысл деления и умножения на число меньше единицы.

Последняя самостоятельная проверка выполняется устно: попросите объяснить, почему в выражении 7/9 : 14/27 нужно сначала заменить вторую дробь на 27/14. Если ответ звучит как «потому что так написано в правиле», предложите обратное действие. Равенство найденного частного, умноженного на 14/27, исходному делимому даст практическое обоснование вычисления.