Карточки для 6 класса: поиск общих кратных двух чисел

Парная работа для 6 класса. Ученики получают две разные карточки по восемь заданий, сначала решают свою, затем меняются листами и проверяют записи друг друга. Важен не только конечный ответ, но и выполнение ограничений «меньше», «не превышает», «строго между». Полный ключ находится после ученических карточек.

Перед раздачей: что называют общим кратным

Общее кратное двух натуральных чисел делится на каждое из них без остатка. Например, у 4 и 6 общие положительные кратные 12, 24, 36, 48, … Первое положительное общее кратное — НОК(4, 6) = 12. Поэтому другие общие кратные получаются умножением 12 на 2, 3, 4 и так далее. В заданиях ниже ищем только положительные общие кратные, если не сказано иное.

Проверка каждого числа устроена просто: разделите его на оба заданных числа. Но проверка одного примера не доказывает, что список полон. Чтобы не пропустить значения в интервале, найдите НОК и последовательно перечисляйте его положительные кратные до нужной границы.

Карточка А — ученик 1

Запишите вычисления на отдельном листе. Для каждого номера укажите хотя бы первое положительное общее кратное, а затем продолжайте ряд. Не смотрите ответы до обмена с партнёром.

1. Для 4 и 6 запишите первые четыре положительных общих кратных.
2. Для 5 и 8 запишите первые три общих кратных.
3. Найдите все положительные общие кратные чисел 6 и 9, которые меньше 60.
4. Найдите первые четыре общих кратных чисел 10 и 15.
5. Найдите все положительные общие кратные 7 и 14, не превышающие 56.
6. Назовите общие кратные 8 и 12, которые строго больше 30 и строго меньше 100.
7. Для 9 и 12 выпишите первые три общих кратных.
8. Найдите два наименьших общих кратных чисел 6 и 10, которые строго больше 50.

Карточка Б — ученик 2

Числа и интервалы отличаются от карточки А; обе карточки равны по общей идее проверки. Если возникает сомнение, выпишите по нескольку кратных каждого числа в два столбца и найдите пересечения.

9. Для 3 и 8 найдите первые четыре положительных общих кратных.
10. Найдите все положительные общие кратные чисел 4 и 10, которые меньше 80.
11. Для 12 и 18 укажите первые три положительных общих кратных.
12. Для 7 и 9 укажите первые два общих кратных.
13. Для 6 и 15 выпишите первые три общих кратных.
14. Для 8 и 14 найдите два первых положительных общих кратных.
15. Для 5 и 12 запишите первые три общих кратных.
16. Для 9 и 15 найдите все общие кратные, строго лежащие между 50 и 200.

Обмен решениями и проверка

1. Поменяйтесь листами. Партнёр читает условие и отмечает, выполняется ли граница интервала для каждого числа.
2. Проверьте делимость каждого ответа на оба исходных числа. Для спорного значения сделайте два деления с целым частным.
3. Найдите НОК отдельно и убедитесь, что все нужные кратные этого НОК вошли в ответ.
4. Верните лист. Тот, кто решал, исправляет ошибки другим цветом и устно объясняет хотя бы одну из них.

Если числа в ответе правильные, но одно общее кратное в заданном промежутке пропущено, это неполный ответ. Если в условии написано «строго меньше», граничное значение включать нельзя. Для формулировки «не превышает» равное границе число включают.

Правильные ответы для взаимопроверки

Карточка А, номера 1–8

1. 12, 24, 36, 48 (НОК = 12).
2. 40, 80, 120 (НОК = 40).
3. 18, 36, 54; нуль не берём, поскольку речь о положительных кратных.
4. 30, 60, 90, 120 (НОК = 30).
5. 14, 28, 42, 56 (56 включаем по условию).
6. 48, 72, 96 (24 меньше границы 30, 120 больше 100).
7. 36, 72, 108 (НОК = 36).
8. 60 и 90; 30 и его кратные, больше 50, начинаются с 60.

Карточка Б, номера 9–16

9. 24, 48, 72, 96 (НОК = 24).
10. 20, 40, 60; число 80 не подходит, поскольку требуется меньше 80.
11. 36, 72, 108 (НОК = 36).
12. 63, 126 (НОК = 63).
13. 30, 60, 90 (НОК = 30).
14. 56 и 112 (НОК = 56).
15. 60, 120, 180 (НОК = 60).
16. 90, 135, 180 (НОК = 45; 45 меньше нижней границы).

Разбор двух пограничных ситуаций

В задании 5 подходит число 56: оно общее кратное 7 и 14 и не превышает указанную границу. В задании 10 не подходит 80, хотя 80 кратно 4 и 10: условие требует число строго меньше 80. Именно здесь различие языковых формулировок влияет на математический результат.

Нуль делится на любые ненулевые натуральные числа, но в этой работе запрошены положительные кратные. Поэтому нуль в ответы не записываем. Это помогает избежать неоднозначности при фразе «первые три общих кратных».

Оценивание и повторение

За восемь собственных заданий ученик получает до восьми баллов; за точную взаимопроверку можно отдельно поставить до двух баллов. При 7–8 баллах навык обычно освоен; при 5–6 стоит повторить границы интервалов; при результате ниже 5 повторите поиск НОК и составление рядов кратных.

Учителю удобно использовать карточки в парах, а затем поменять роли и выдать вторую часть для индивидуального выполнения. Для дома можно решить номера 3, 6, 10 и 16: в них важны не только вычисления, но и внимательное чтение условия. Материал не требует электронного теста, картинок или внешних сервисов.

Когда два способа помогают друг другу

Первый способ — выписать кратные каждого числа, например для 6: 6, 12, 18, 24, 30, …, а для 9: 9, 18, 27, 36, 45, 54, … Так сразу видно первое совпадение 18. Второй способ — разложить числа 6 = 2 · 3 и 9 = 3², получить НОК = 2 · 3² = 18 и выписать кратные числа 18. На небольших числах оба способа полезны, а при больших интервалах второй быстрее и снижает риск пропусков.

Чтобы проверить, что число действительно первое общее кратное, недостаточно заметить совпадение в двух коротких списках: стоит убедиться, что меньшего положительного совпадения нет. Например, для 8 и 14 число 56 является первым общим кратным, потому что 8 = 2³, 14 = 2 · 7, а 2³ · 7 = 56. Все остальные положительные общие кратные — это 112, 168, 224 и так далее. Если в записи появился 28, проверьте 28 : 8 — получится 3 с остатком 4; это не общее кратное.

Для совместного обсуждения попросите каждого ученика придумать одно условие с границами: «меньше», «не меньше», «между», «не превышает». Партнёр сначала переводит слова в сравнение, затем перечисляет подходящие кратные. Эта дополнительная устная тренировка не входит в 16 оцениваемых номеров и не требует распечатки нового листа.