Карточки для 7 класса: составление графика тарифов мобильной связи

Уровень: 7 класс. Заданий: 24. Постройте графики стоимости двух тарифов и сравните их. Для таблиц используется одна единица расчёта: условные денежные единицы (у. е.), целые минуты разговора и отсутствие других услуг.

Тариф А: фиксированная плата 200 у. е. плюс 4 у. е. за каждую минуту. Тариф Б: 80 у. е. плюс 6 у. е. за минуту. Здесь x — число минут в месяц, y — общая стоимость. На графике по оси x — минуты, по оси y — стоимость; рассматриваем x ≥ 0.

Лист исследования: от таблиц к графикам

Чтобы построить прямую линейного тарифа, достаточно двух верных точек. Однако третья точка помогает заметить ошибку. При рисовании выбирайте масштаб, например 1 клетка = 10 минут по оси x и 1 клетка = 40 у. е. по оси y; если тетрадного места не хватает, используйте больший масштаб.

Карточка I — таблица и координаты

1. Запишите формулу y(x) для тарифа А.
2. Запишите формулу y(x) для тарифа Б.
3. Проверьте вычислением стоимость А при x = 20.
4. Проверьте вычислением стоимость Б при x = 40.
5. Укажите координаты точек графика А при x = 0, 50, 100.
6. Укажите координаты точек графика Б при x = 0, 50, 100.
7. Начертите обе прямые на одном координатном поле; подпишите название каждой.
8. С помощью построения объясните, почему графики нельзя проводить через точку (0; 0).

Карточка II — вычисления и рассуждения

Чтение графика должно подтверждаться арифметикой. Для сравнения цен вычитайте одну стоимость из другой, не смешивая минуты и денежные единицы. Точка пересечения означает одинаковую цену при одном и том же числе минут.

9. Найдите стоимость тарифа А при 60 минутах.
10. Найдите стоимость тарифа Б при 100 минутах.
11. Вычислите, насколько А дороже Б при x = 0.
12. При x = 20 назовите более дешёвый тариф и разницу в цене.
13. Определите число минут, при котором стоимости равны, решив 200 + 4x = 80 + 6x.
14. Найдите стоимость в точке пересечения графиков.
15. Какой тариф дешевле при 80 минутах и на сколько?
16. На сколько тариф Б дороже А при 100 минутах?
17. В каком из тарифов стоимость растёт быстрее при увеличении разговоров на 10 минут? Обоснуйте числом.
18. При бюджете не более 400 у. е. какое наибольшее целое число минут доступно по тарифу А?

Карточка III — третий график и выбор

Оператор предложил тариф В: 150 у. е. обязательной платы и 5 у. е. за минуту. Ограничений пакета минут нет, все три тарифа линейны. При выполнении самостоятельного блока можно пользоваться предыдущей таблицей, но ключ откройте после работы.

19. Запишите формулу тарифа В.
20. Найдите стоимость В при 50 минутах.
21. Составьте точки для В при 0, 50 и 100 минутах и постройте третью прямую на прежнем поле.
22. При каком количестве минут А и В стоят одинаково? Укажите стоимость.
23. При каком количестве минут Б и В стоят одинаково? Укажите стоимость.
24. Выберите самый дешёвый из трёх тарифов при 40 минутах, приведя все три стоимости.

Памятка для правильного построения трёх прямых

Первый шаг — не график, а единицы. По горизонтали записывайте количество минут, а по вертикали стоимость за месяц в условных денежных единицах. Нельзя сравнивать координаты (20; 280) и (280; 20), если сначала указано время, а затем цена: перестановка координат меняет смысл точки и наклон линии.

Второй шаг — точка при x = 0. Этот случай важен не потому, что кто-то непременно пользуется нулём минут, а потому, что он показывает обязательный платеж. Тариф А начинается с уровня 200, Б — с 80, В — со 150. Если все прямые начинаются в начале координат, рисунок не отвечает условию.

Третий шаг — второй ориентир. Берите удобное круглое x, например 100: для А получите 600, для Б — 680, для В — 650. Соедините каждую пару точек прямой линией. Дальше проверьте промежуточную точку x = 50: 400, 380 и 400 соответственно. Если она не лежит на вашей линии, исправьте масштаб или вычисление, прежде чем делать вывод о самом дешёвом тарифе.

Четвёртый шаг — объяснение пересечений. Равенство стоимостей даёт равенство формул, а не «примерно одинаковую высоту» на рисунке. Так, для А и Б: 200 + 4x = 80 + 6x, затем 120 = 2x, значит x = 60. Проверяем обе части: 440 и 440. Если у двух формул различны коэффициенты при x, их прямые имеют разные наклоны и пересекаются только в одной точке.

Почему одинаковая цена бывает при разных расходах

Тариф с низкой обязательной платой может обходиться дороже при большой продолжительности разговоров, если плата за минуту выше. Именно поэтому недостаточно выбрать вариант по одному числу «80 у. е. в месяц». Для честного сравнения фиксируйте одно и то же количество минут по всем тарифам. Меняется x — меняется точка на каждой из прямых; вычисляйте все варианты при одном x.

Для контроля полезно смотреть на разности. Разность А и Б равна (200 + 4x) − (80 + 6x) = 120 − 2x. При x = 0 она положительная: А дороже на 120. При x = 60 разность равна нулю, после этой отметки становится отрицательной: А дешевле Б. Такая запись позволяет проверить вывод без изображения.

Самостоятельная проверка построения. Попросите другого ученика назвать по графику стоимость при 20 и 80 минутах. Сверьте её с таблицей. Малое расхождение от толщины линии допустимо при рисовании, но точные координаты и пересечения должны подтверждаться формулой. Если используете калькулятор, сначала составьте выражение самостоятельно, затем проверяйте арифметику.

Границы модели важны: реальный оператор может применять округление, пакеты, налоги и условия после превышения лимита. Здесь этих ограничений нет, поэтому линия остаётся прямой. Такая оговорка позволяет изучать линейную функцию, не смешивая её со ступенчатыми и кусочными графиками, которые могут встречаться в других программах.

Ключ для учителя и самостоятельной проверки

Ответы находятся после заданий. Для печати только ученической части выделите текст до разделительной линии и распечатайте выделенное.

1. А: y = 200 + 4x.
2. Б: y = 80 + 6x.
3. 200 + 4·20 = 280.
4. 80 + 6·40 = 320.
5. (0; 200), (50; 400), (100; 600).
6. (0; 80), (50; 380), (100; 680).
7. Прямые проходят через точки из ответов 5–6; пересечение в (60; 440).
8. При x = 0 остаётся обязательная плата: 200 и 80, а не ноль.
9. 440 у. е.
10. 680 у. е.
11. 200 − 80 = 120 у. е.
12. Б дешевле: 200 против 280, разница 80.
13. 2x = 120 → x = 60 минут.
14. 200 + 4·60 = 440 у. е.
15. А: 520 против 560; дешевле на 40.
16. 680 − 600 = 80.
17. Б: за 10 минут прибавляется 60, а у А — 40.
18. 200 + 4x ≤ 400 → x ≤ 50; 50 минут.
19. В: y = 150 + 5x.
20. 150 + 5·50 = 400 у. е.
21. (0; 150), (50; 400), (100; 650).
22. 200 + 4x = 150 + 5x → x = 50, цена 400.
23. 80 + 6x = 150 + 5x → x = 70, цена 500.
24. При 40 мин: А = 360, Б = 320, В = 350; самый дешёвый Б.

Самопроверка графиков: все три линии должны быть прямыми; Б начинается ниже А, но поднимается круче; пересечения А и В, А и Б, Б и В соответствуют x = 50, 60 и 70. Если визуальный ответ не совпал с вычисленным, проверьте масштаб осей.

Для учителя: предложите объяснить, почему «дешёвый при нуле минут» не означает «дешёвый всегда». В 7 классе обсуждаем зависимости вида y = kx + b без сложных ступенчатых тарифов; название денежной единицы условное, поэтому материал одинаково подходит разным программам.