Карточки для 7 класса: вычисление квадратов чисел по формуле суммы

Эта работа тренирует именно быстрое вычисление квадрата числа по формуле квадрата суммы, а не механическое умножение столбиком. Подходит для самостоятельной тренировки после изучения формулы сокращённого умножения. Ученик видит, как число разбивается на удобные слагаемые: например, 53 = 50 + 3. Задания рассчитаны на 7 класс; сначала выполняйте их без калькулятора, а ответы сверяйте после завершения карточки.

Разберись в формуле

(a + b)² = a² + 2ab + b². Средний член обязательно равен удвоенному произведению двух слагаемых. Например, 42² = (40 + 2)² = 1600 + 160 + 4 = 1764. Числа 40 и 2 выбраны не случайно: квадраты десятков считать легче. Результат можно независимо проверить обычным умножением 42 · 42.

Карточка 1. Вопросы на понимание

1. Чему равен средний член в (a + b)² и почему нельзя его пропускать?
2. Как удобнее разложить число 62 на сумму для вычисления квадрата?
3. Верно ли равенство (a + b)² = a² + b² при a = 2 и b = 3?
4. В каких вычислениях полезнее формула: 70² или 73²? Поясни.

Карточка 2. Вычисления без калькулятора

5. 23² = __________
6. 31² = __________
7. 42² = __________
8. 51² = __________
9. 62² = __________
10. 73² = __________
11. 84² = __________
12. 91² = __________
13. 105² = __________
14. 112² = __________

Карточка 3. Докажи и сравни

15. Представь 39 как 30 + 9. Вычисли 39² по формуле суммы и сравни результат с 40²: на сколько единиц оно меньше?
16. Два ученика вычислили 32²: первый получил 900 + 120 + 4, второй — 900 + 60 + 4. Кто прав и как проверить?

Отметьте отдельно те места, где было трудно: выбор удобного разложения, вычисление 2ab или сложение полученных чисел. Это помогает повторить нужный шаг вместо переписывания всей карточки.

Ключ и объяснения для учителя

1. 2ab; он получается из двух произведений ab при раскрытии скобок.
2. 60 + 2.
3. Нет: 25 ≠ 13; не учтён член 2ab.
4. Особенно в 73² = (70 + 3)²; число 70² и без формулы легко получить.
5. 20² + 2 · 20 · 3 + 3² = 529
6. 30² + 2 · 30 · 1 + 1² = 961
7. 40² + 2 · 40 · 2 + 2² = 1764
8. 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2601
9. 60² + 2 · 60 · 2 + 2² = 3844
10. 70² + 2 · 70 · 3 + 3² = 5329
11. 80² + 2 · 80 · 4 + 4² = 7056
12. 90² + 2 · 90 · 1 + 1² = 8281
13. 100² + 2 · 100 · 5 + 5² = 11025
14. 100² + 2 · 100 · 12 + 12² = 12544
15. 39² = (30 + 9)² = 900 + 540 + 81 = 1521; число 40² = 1600, разность равна 79. Проверь оценкой: 39² меньше 1600 и больше 30².
16. Прав первый: 32² = (30 + 2)² = 900 + 120 + 4 = 1024. Второй забыл удвоить произведение 30 · 2.

Самопроверка по трём критериям

За каждый вычислительный пример можно поставить 1 балл за верное разложение числа и 1 балл за точное вычисление всех трёх слагаемых. При частичной ошибке попросите объяснить промежуточную строку. Отдельно проверьте, что ученик всегда записывает именно 2ab, а не ab. Для печати ученику достаточно разделов «Карточка 1–3», а ключ расположен ниже и может быть оставлен у проверяющего.

Проверка оценки результата: квадрат числа от 20 до 29 находится между 400 и 841, число 84² немного меньше 90² = 8100. При очевидном несоответствии порядка величины стоит найти арифметическую ошибку раньше, чем смотреть в готовый ответ.

Почему приём работает на любом числе

Если число представить как сумму круглой части и остатка, произведение (a + b)(a + b) распадается на четыре прямоугольника: a · a, a · b, b · a, b · b. Отсюда естественно возникает удвоение смешанного произведения. Вспомните этот геометрический смысл, если формула кажется произвольной. Пример для наглядности: квадрат со стороной 13 можно мысленно разделить на квадрат 10 на 10, два прямоугольника 10 на 3 и квадрат 3 на 3. Площадь составит 100 + 30 + 30 + 9 = 169.

Учителю удобно перед началом работы дать один пример с уже написанной строкой 2ab и попросить заполнить только множители. При хороших результатах переходите к квадратам трёхзначных чисел около 100: 105² = 10000 + 1000 + 25. Обязательно задавайте вопрос: «Почему здесь именно тысяча, а не пятьсот?» — он показывает, понимает ли ребёнок смысл двойного произведения, а не воспроизводит шаблон по памяти.