Карточки для 9 класса: формула n-го члена геометрической прогрессии

Готовые карточки для 9 класса: применяем b_n = b₁ · qⁿ⁻¹, где b₁ — первый член геометрической прогрессии, q — её знаменатель, n — номер члена. Начинайте с устной серии, затем заполните пропуски и только после этого переходите к итоговой самостоятельной. Ответы помещены в самом конце, чтобы лист можно было распечатать ученику без ключа.

Два вопроса перед вычислением

Почему степень равна n−1, а не n? До первого члена не выполнялось ни одного перехода, а до пятого было ровно четыре умножения на q. Почему при q < 0 знаки чередуются? Потому что каждый переход умножает предыдущий член на отрицательное число; знак зависит от чётности показателя степени.

Карточка А — быстрый счёт

Для каждого пункта вычислите нужный член. Запишите одну строку подстановки в формулу. Не заменяйте умножение на q прибавлением q: это не арифметическая прогрессия. В заданиях с дробным q используйте сокращение до окончательного ответа.

1. b₁ = 3, q = 2; найдите b₅.
2. b₁ = 5, q = 3; найдите b₄.
3. b₁ = −2, q = 2; найдите b₆.
4. b₁ = 7, q = −2; найдите b₄.
5. b₁ = 64, q = 1/2; найдите b₅.
6. b₁ = 81, q = 1/3; найдите b₄.

Карточка Б — заполните пустую строку формулы

Впишите показатель степени, затем само значение члена. Подписывайте промежуточные действия: например, b₄ = b₁ · q³. В этой серии есть как отрицательный множитель, так и знаменатель меньше единицы.

7. b₁ = 4, q = −3: b₃ = 4 · (−3)^___ = ______.
8. b₁ = 6, q = 2: b₅ = 6 · (2)^___ = ______.
9. b₁ = 160, q = 1/2: b₄ = 160 · (1/2)^___ = ______.
10. b₁ = 2, q = 4: b₄ = 2 · (4)^___ = ______.

Карточка В — итоговая самостоятельная

Работайте самостоятельно 8–10 минут. Запишите выражение для bₙ и выполните вычисление; в конце проверьте порядок величины результата. При |q| > 1 модули членов возрастают, а при 0 < |q| < 1 — уменьшаются. Для отрицательного q отдельно проверьте знак.

11. Дано b₁ = 3, q = 2. Определите b₄ и укажите, как проверили знак.
12. Дано b₁ = 5, q = −2. Определите b₅ и укажите, как проверили знак.
13. Дано b₁ = 96, q = 1/2. Определите b₅ и укажите, как проверили знак.
14. Дано b₁ = 2, q = 3. Определите b₆ и укажите, как проверили знак.
15. Дано b₁ = 7, q = 2. Определите b₄ и укажите, как проверили знак.
16. Дано b₁ = 2, q = −3. Определите b₄ и укажите, как проверили знак.

Ответы и объяснения ко всем 16 пунктам

1. b₅ = 3 · (2)⁴ = 48. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
2. b₄ = 5 · (3)³ = 135. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
3. b₆ = −2 · (2)⁵ = −64. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
4. b₄ = 7 · (−2)³ = −56. Нечётная степень отрицательного q даёт отрицательный множитель.
5. b₅ = 64 · (1/2)⁴ = 4. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
6. b₄ = 81 · (1/3)³ = 3. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
7. b₃ = 4 · (−3)² = 36. Чётная степень отрицательного q даёт положительный множитель.
8. b₅ = 6 · (2)⁴ = 96. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
9. b₄ = 160 · (1/2)³ = 20. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
10. b₄ = 2 · (4)³ = 128. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
11. b₄ = 3 · (2)³ = 24. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
12. b₅ = 5 · (−2)⁴ = 80. Чётная степень отрицательного q даёт положительный множитель.
13. b₅ = 96 · (1/2)⁴ = 6. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
14. b₆ = 2 · (3)⁵ = 486. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
15. b₄ = 7 · (2)³ = 56. Показатель степени на единицу меньше номера члена.
16. b₄ = 2 · (−3)³ = −54. Нечётная степень отрицательного q даёт отрицательный множитель.

Самопроверка: за правильную формулу и подстановку — 1 балл, за вычисление и знак — ещё 1 балл, всего 32. Если есть ошибки в знаке, выпишите первые три члена прогрессии и проверьте закономерность. Если получился неверный порядок величины при дробном q, повторите, что умножение на положительную дробь меньше 1 уменьшает модуль числа.

Учителю: первые два набора удобно дать как совместное повторение, а карточку В — как самостоятельную часть урока. Для учеников, которые только познакомились с формулой, задания с отрицательным и дробным знаменателем можно отработать после простых целочисленных случаев; порядок введения зависит от программы.